1. Motivation
Aufgabe:
Leite die beiden Funktionen \$f(x)=x^2\$ und \$g(x)=2^x\$ ab.
Lösung:
\$f'(x)=2x\$, aber für \$g(x)\$ haben wir noch keine Regel.
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Die "Ableitung" \$g'(x)=x * 2^{x-1}\$ ist falsch! |
In diesem Kapitel werden wir die korrekte Ableitungsregel für eine spezielle Exponentialfunktion, die sogenannte e-Funktion, kennenlernen und im nächsten Kapitel schließlich einen Weg, eine beliebige Exponentialfunktion abzuleiten.
2. Grundbegriffe und Herleitung
Bei der Exponentialfunktion
\$f(x)=a^x, a>0\$
wird \$a\$ als Basis und \$x\$ als Exponent bezeichnet.
Diese ist nicht mit der Potenzfunktion zu verwechseln, die die Form \$f(x)=x^n\$ hat, für welche wir bereits die Ableitungsregel \$f'(x)=n * x^{n-1}\$ kennen.
Um eine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion der Form \$f(x)=a^x\$ zu finden, gehen wir wie üblich vor: wir stellen den Differenzialquotienten auf und versuchen damit eine Regel zu erkennen:
\$f'(x)=lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h=\$
\$lim_{h->0} {a^{x+h}-a^x}/h=lim_{h->0} {a^x*a^h-a^x}/h\$
Hier haben wir eines der Potenzgesetze verwendet, das uns erlaubt \$a^{x+h}\$ als \$a^x * a^h\$ zu schreiben. Somit können wir nun \$a^x\$ ausklammern und, da es nicht von \$h\$ abhängt, vor den Limes ziehen, so dass man den Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-1}/h\$
erhält. Nun verwenden wir einen kleinen "Trick": Wenn wir die Zahl \$1\$ durch \$a^0\$ ersetzen, bleibt der Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$
übrig, wobei \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ nach der Definition der Ableitung nichts anderes ist, als die Ableitung von \$f(x)=a^x\$ an der Stelle 0, also \$f'(0)\$.
Insgesamt haben wir als Ableitung von \$f(x)=a^x\$ den Ausdruck
Dieses Ergebnis ist nicht wirklich zufriedenstellend: da benötigt man für die Ableitung an der Stelle x die Ableitung der Funktion an der Stelle 0! Und genau diese Ableitung haben wir noch nicht!
Deshalb sind wir hier noch nicht fertig und suchen einen anderen Weg: in der Herleitung kam gerade der Ausdruck \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ vor; können wir vielleicht eine Basis a so wählen, dass dieser Limes die Zahl 1 ergibt? Dazu folgender Ansatz:
\$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h=lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}\$
Anstatt \$h\$ gegen 0 gehen zu lassen, kann man ebenso gut das \$h\$ durch \$1/n\$ ersetzen, wenn man das \$n\$ gegen \$oo\$ laufen lässt. Und wegen \$a^0=1\$ haben wir wieder die 1 statt des \$a^0\$ im Term stehen.
Und dieser Grenzwert soll gleich 1 sein:
\$lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}=1\$
Für die folgende prinzipielle Herleitung lassen wir den Limes hier weg und lösen den Term nach a auf:
\${a^{1/n}-1}/{1/n}=1 | *(1/n)\$
\$a^{1/n}-1=1/n | +1\$
\$a^{1/n}=root(n)(a)=1+1/n \$
|
\$sqrt(3)=3^{1/2}\$ in Potenzschreibweise, analog dazu \$root(3)(4)=4^{1/3}\$, also kann man allgemein schreiben, dass \$root(n)(a)=a^{1/n}\$. Das haben wir soeben verwendet. |
Potenziert man die Gleichung nun auf beiden Seiten mit \$n\$, so erhält man
\$a=(1+1/n)^{n}\$
Setzt man für \$n\$ nun immer größere Werte ein, so wird man überrascht feststellen, dass dieser Ausdruck gegen einen bestimmten Wert zu streben scheint:
n |
\$(1+1/n)^{n}\$ |
100 |
2.7048138294215285 |
1000 |
2.7169239322355936 |
10000 |
2.7181459268249255 |
100000 |
2.7182682371922975 |
1000000 |
2.7182804690957534 |
10000000 |
2.7182816941320818 |
100000000 |
2.7182817983473577 |
1000000000 |
2.7182820520115603 |
Diese besondere Zahl wird als Eulersche Zahl bezeichnet und mit dem Buchstaben \$e\$ bezeichnet.
Die Eulersche Zahl hat näherungsweise den Wert \$e=2,71828\$ und die Funktion \$e^x\$ wird als e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.
Somit haben wir die besondere Basis \$e\$ gefunden, für die gilt, dass die Ableitung von \$e^x\$ an der Stelle 0 gleich 1 ist. In Verbindung mit der Gleichung \$ox text( )\$ von oben erhält man für \$f(x)=e^x\$ die Ableitung \$f'(x)=e^x *1=e^x=f(x)\$.
Dadurch gilt natürlich auch: \$f''(x)=e^x\$ und \$f'''(x)=e^x\$, usw.
Mit \$e^x\$ liegt also eine Funktion vor, die die besondere Eigenschaft hat, dass sie mit all ihren Ableitungen identisch ist!
Ableitung der e-Funktion:
Für die e-Funktion \$f(x)=e^x\$ mit \$e\$ als Eulersche Zahl gilt:
\$f'(x)=e^x=f(x)\$
Vertiefung:
Wir haben gesehen, dass \$lim_{n->oo} (1+1/n)^{n}\$ gegen \$e\$ strebt. Man kann etwas allgemeiner auch zeigen, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}\$ gegen \$e^a\$ läuft. Um dies nachvollziehbar zu machen, wiederholen wir die numerische Näherung mit \$n_0=1 000 000 000\$ für verschiedene Werte von a und notieren daneben \$e^a\$:
a |
\$(1+a/n_0)^{n_0}\$ |
\$e^a\$ |
0,5 |
1,648721 |
1,648721 |
1 |
2,718282 |
2,718282 |
2 |
7,389056 |
7,389056 |
4 |
54,598146 |
54,598150 |
8 |
2980,957021 |
2980,957987 |
Die Werte zeigen, dass diese Aussage zu stimmen scheint.
Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden.
3. Beispiel zur Ableitung der e-Funktion
Aufgabe
Leite \$f(x)=e^{2x}\$ ab.
Lösung:
\$f'(x)=e^{2x} * 2\$
Die Multiplikation mit der 2 kommt durch die Anwendung der Kettenregel zustande. Hier ist \$e^x\$ die äußere Funktion und \$2x\$ die innere Funktion, so dass die Kettenregel hier zur Anwendung kommt und man mit der Ableitung von \$2x\$ nachdifferenzieren muss.
4. Graph der e-Funktion
Der Graph von \$e^x\$ geht bei 1 durch \$e=2,71828\$ und bei 0 durch \$e^0=1\$.
Zusätzlich sind noch die Graphen von \$e^{-x}\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der y-Achse) und \$-e^x\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der x-Achse) eingezeichnet.
Beachte, dass sich der Graph der normalen e-Funktion im negativen Bereich der x-Achse beliebig annähert, diese aber nie berührt, denn \$e^x>0\$ für alle \$x in RR\$.
