1. Motivation
Betrachten wir zunächst zwei Aufgaben:
Aufgaben:
-
Bestimme die Ableitung von \$f(x)=sqrt(x^3)\$.
-
Bestimme die Ableitung von \$g(x)=sin(cos(x))\$.
Lösung von Aufgabe 1:
Diese Aufgabe kann man relativ einfach lösen, indem man den Term mit Hilfe der Potenzgesetze umschreibt:
\$f(x)=sqrt(x^3)=(x^3)^{1/2}=x^{3/2}\$
Den neuen Term kann man somit normal ableiten:
\$f'(x)=3/2 * x^{1/2} = 3/2 *sqrt(x)\$
Lösung von Aufgabe 2:
Hier ist vorerst nicht klar, wie vorzugehen ist. Dafür benötigen wir eine neue Ableitungsregel, die sogenannte Kettenregel.
Auch Aufgabe 1 lässt sich mit der Kettenregel lösen, wie wir am Ende dieser Einheit sehen werden.
2. Verkettung von Funktionen
Die Terme beider Aufgaben haben aber gemeinsam, dass es jeweils eine innere und eine äußere Funktion gibt.
In der Tabelle sieht man für die beiden Terme diese innere und äußere Funktion:
Term |
\$sqrt(x^3)\$ |
\$g(x)=sin(cos(x))\$ |
Innere Funktion v(x) |
\$x^3\$ |
\$cos(x)\$ |
Äußere Funktion u(x) |
\$sqrt(x)\$ |
\$sin(x)\$ |
Im Prinzip kann man sich vorstellen, dass im Fall von \$sqrt(x ^3)\$ zuerst eine Funktion v(x) mit dem Term \$x^3\$ auf das x angewendet wird, wodurch man \$x^3\$ als Ergebnis erhält.
Im nächsten Schritt wird auf das Ergebnis die Funktion u(x) mit \$u(x)=sqrt(x)\$ angewendet, wodurch man insgesamt den Ausdruck \$f(x)=u(v(x))=sqrt(v(x))=sqrt(x^3)\$ erhält.
Insgesamt wendet man auf auf das x erst die Funktion v und dann die Funktion u an:
\$x |-> x^3 |-> sqrt(x^3)\$
Oder mit Funktionsnamen:
\$x |-> v(x) |-> u(v(x))\$
|
Eine andere Schreibweise für \$u(v(x))\$ ist \$(u@v)(x)\$, was man als "u nach v von x" spricht. |
3. Herleitung der Kettenregel
Wir wollen nun für eine Funktion \$f(x)=u(v(x))\$ eine Ableitungsregel bestimmen. Dazu setzen wir den Differenzialquotienten an:
\$lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h=\$
\$lim_{h->0}{u(v(x+h))-u(v(x))}/h\$
An dieser Stelle benutzen wir einen Trick, indem wir den Term mit 1 multipilizieren, wodurch sich am Term selbst nichts ändert. Allerdings nehmen wir hier nicht die gewöhnliche Zahl 1, sondern \$1={v(x+h)-v(x)}/{v(x+h)-v(x)}\$, wodurch sich der folgende Ausdruck ergibt:
\$lim_{h->0}{u(v(x+h))-u(v(x))}/h * {v(x+h)-v(x)}/{v(x+h)-v(x)}=\$
\$lim_{h->0}{u(v(x+h))-u(v(x))}/{v(x+h)-v(x)} * {v(x+h)-v(x)}/{h}=ox\$
Lässt man nun h gegen 0 laufen, so strebt der hintere Faktor gegen \$v'(x)\$.
Beim vorderen Faktor kann man die folgende Überlegung anstellen:
Vergleicht man \$lim_{h->0}{u(v(x+h))-u(v(x))}/{v(x+h)-v(x)}\$ mit \$u'(x)=lim_{h->0}{u(x+h)-u(x)}/{x+h-x}\$, so erkennt man, dass der erste Term \$u'(v(x))\$ entspricht.
Damit gilt:
\$ox=u'(v(x))*v'(x)\$.
Somit gilt die
Kettenregel:
Eine Funktion der Form \$f(x)=u(v(x))\$ kann man ableiten zu
\$f'(x)=u'(v(x))*v'(x)\$.
Dabei müssen die Funktionen \$u\$ und \$v\$ auch jeweils differenzierbar, also ableitbar, sein.
4. Anwendung auf die Beispiele vom Anfang
Mit der Kettenregel leiten wir nun nochmals beide Aufgaben aus der Motivation ab:
Aufgaben:
-
Bestimme die Ableitung von \$f(x)=sqrt(x^3)\$.
-
Bestimme die Ableitung von \$g(x)=sin(cos(x))\$.
Lösung von Aufgabe 1 mit der Kettenregel:
Hier ist \$u(x)=sqrt(x)=x^{1/2}\$ und \$v(x)=x^3\$.
Somit ist \$u'(x)=1/2 * x^{-1/2}\$ und \$v'(x)=3x^2\$.
Eingesetzt in die Kettenregel gilt:
\$f'(x)=u'(v(x))*v'(x)=1/2 * (x^3)^{- 1/2}*3x^2\$.
Dieser Ausdruck lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen zu
\$3/2 *x^{- 3/2}*x^2=3/2 *x^{- 3/2+2}=3/2 * x^{1/2}=3/2 sqrt(x)\$
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis, das wir zu Beginn dieses Kapitels berechnet haben.
Lösung von Aufgabe 2 mit der Kettenregel:
Diese Aufgabe konnten wir zu Beginn des Kapitels noch nicht berechnen. Es gilt hier: \$u(x)=sin(x)\$ und \$v(x)=cos(x)\$.
Für die Ableitungen von \$u\$ und \$v\$ gilt: \$u'(x)=cos(x)\$ und \$v'(x)=-sin(x)\$.
Einsetzen in die Kettenregel liefert:
\$g'(x)=u'(v(x))*v'(x)=cos(cos(x))*(-sin(x))\$
Das "-" kann man noch nach vorne ziehen und so erhält man als Ergebnis \$g'(x)=-cos(cos(x))*sin(x)\$.