1. Die Produktregel
1.1. Motivation
Die Notwendigkeit der Produktregel ergibt sich aus folgendem Beispiel:
Aufgabe:
Bilde die Ableitungen von \$f(x)=x^2 * x^3\$ und \$g(x)=x^5\$.
Lösung:
Beide Funktionen haben die gleiche Ableitung \$f'(x)=g'(x)=5x^4\$, da \$f(x)=x^2*x^3=x^5=g(x)\$, wodurch auch deren Ableitungen identisch sein müssen.
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Ein häufiger Fehler ist, dass für \$f'(x)=2x * 3x ^2\$ berechnet wird, da die beiden Faktoren \$x^2\$ und \$x^3\$ einzeln abgeleitet werden und das Produkt aus den Ergebnissen gebildet wird. Diese Vorgehensweise ist offensichtlich falsch. |
Wir werden in diesem Kapitel eine Regel, die sogenannte Produktregel kennenlernen, mit deren Hilfe man die Ableitung von \$f(x)=x^2*x^3\$ direkt berechnen kann.
1.2. Herleitung
Wir betrachten im folgenden eine Funktion \$p(x)=f(x)*g(x)\$, deren Ableitung \$p'(x)\$ bestimmt werden soll.
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Bezogen auf obiges Beispiel wäre \$f(x)=x^2\$ und \$g(x)=x^3\$. |
Wir leiten die Ableitungsregel für ein solches Produkt zweier Funktionen mit Hilfe des Differenzenquotienten her:
Nun verwendet man einen Trick, indem man eine geschickte Null zum Zähler addiert, nämlich
Fügt man diese "Null" in den Zähler ein, so ändert sich dieser vom Wert her nicht. Somit erhält man als Ausdruck:
Den Bruch kann man nun auseinanderziehen zu
Im vorderen Teil kann man \$g(x+h)\$ ausklammern, im hinteren Teil \$f(x)\$, also:
Lässt man nun h gegen 0 laufen, so erhält man den Differentialquotienten, der der Ableitung von \$p(x)\$ entspricht.
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Nicht vergessen:
\$lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h =f'(x)\$ und \$lim_{h->0} {g(x+h)-g(x)}/h=g'(x)\$ |
Somit erhält man insgesamt die
Produktregel:
1.3. Beispiele
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Gehen wir zurück zu unserem Anfangsbeispiel: Dort war zunächst die Ableitung von \$x^2*x^3\$ zu berechnen.
Zunächst benötigt man \$f(x)\$, \$g(x)\$ und die zugehörigen Ableitungen:
\$f(x)\$
\$x^2\$
\$g(x)\$
\$x^3\$
\$f'(x)\$
\$2x\$
\$g'(x)\$
\$3x^2\$
Somit ergibt die Produktregel:
\$(x^2*x^3)'=x^2*3x^2+2x*x^3=3x^4+2x^4=5x^4\$Der Vergleich mit dem Einstiegsbeispiel zeigt, dass mit Hilfe der Produktregel nun tatächlich das Gleiche herauskommt, wie beim direkten Ableiten von \$x^5\$.
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Ableitung von \$sin(x)*cos(x)\$:
\$(sin(x)*cos(x))'=\$\$(sin(x))'*cos(x)+sin(x)*(cos(x))'=\$\$cos(x)*cos(x)+sin(x)*(-sin(x))=\$\$cos^2(x)-sin^2(x)\$
2. Die Quotientenregel
2.1. Herleitung
Mit Hilfe der Produktregel lassen sich auch Quotienten zweier Funktionen ableiten, also Funktionen der Form \$f(x)={u(x)}/{v(x)}\$.
Eine einfache Herleitung gelingt mit Hilfe von Produkt- und Kettenregel: Zunächst schreiben wir \$f(x)\$ mit Hilfe der Potenzgesetze um zu \$f(x)=u(x) * (v(x))^{-1}\$.
Wendet man nun die Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel an, so erhält man
\$f'(x)=u'(x)*(v(x))^{-1}+u(x)*(-1)*(v(x))^{-2}*v'(x)\$
Im letzten Teil muss man gemäß der Kettenregel noch mit \$v'(x)\$ nachdifferenzieren, da dies der Ableitung der inneren Funktion entspricht. Wechselt man von der Potenzschreibweise wieder in die normale Bruchschreibweise, so entspricht dies dem Ausdruck
\$f'(x)={u'(x)}/{v(x)}-{u(x)*v'(x)}/{(v(x))^2}\$
Bringt man den linken Bruch auch auf den Nenner \$(v(x))^2\$ so lässt sich das Ergebnis zusammenfassen zur
Quotientenregel:
Ist \$f(x)={u(x)}/{v(x)}\$ mit \$u\$ und \$v\$ differenzierbar, so ist die Ableitung
\$f'(x)={u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}/{(v(x))^2}\$
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Als Merkregel kann hier auch die Formel dienen: \${NAZ-ZAN}/{N^2}\$ Sie steht für "Nenner [mal] Ableitung Zähler minus Zähler [mal] Ableitung Nenner. Und alles durch den Nenner im Quadrat dividiert. |
2.2. Beispiel
Aufgabe:
Bilde die Ableitung von \$f(x)={sin(x)}/{cos(x)}\$.
Lösung:
\$u(x)=sin(x)\$, \$u'(x)=cos(x)\$, \$v(x)=cos(x)\$ und \$v'(x)=-sin(x)\$.
Eingesetzt in die Formel der Quotientenregel erhält man
\$f'(x)={cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x))}/{(cos(x))^2}=\$
\${(cos(x))^2+(sin(x))^2}/{(cos(x))^2}\$
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\${sin(x)}/{cos(x)}\$ ist die Definition des Tangens von x, also \$tan(x)={sin(x)}/{cos(x)}\$. Außerdem gilt: \$(sin(x))^2+(cos(x))^2=1\$, so dass sich das Ergebnis der Aufgabe vereinfachen lässt zu: \$(tan(x))' = 1/ {(cos(x))^2}\$ |