1. Motivation
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir immer wieder Ableitungsregeln hergeleitet und dabei stets den gleichen Ansatz verwendet, nämlich
\$f'(x)=lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h\$.
Um dies nochmals zu verdeutlichen, werden hier die Ansätze der einzelnen Herleitungen nochmals gezeigt:
Regel |
f(x) |
Ansatz |
Kettenregel |
\$u(v(x))\$ |
\$lim_{h->0}{u(v(x+h))-u(v(x))}/h\$ |
Produktregel |
\$u(x)*v(x)\$ |
\$lim_{h->0} {u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)}/h\$ |
Exponentialfunktion |
\$a^x\$ |
\$lim_{h->0} {a^{x+h}-a^x}/h\$ |
Logarithmusfunktion |
\$ln(x)\$ |
\$lim_{h->0} {ln(x+h)-ln(x)}/h\$ |
Insgesamt kennen wir nun viele Ableitungsregeln, die im folgenden nochmals tabellarisch aufgelistet werden, ebenso wie die Potenz- und Logarithmusgesetze, die man immer wieder brauchen kann.
2. Ableitungsregeln
f(x) |
f'(x) |
Anmerkung |
\$x^n\$ |
\$n*x^{n-1}\$ |
Potenzregel |
\$sin(x)\$ |
\$cos(x)\$ |
|
\$cos(x)\$ |
\$-sin(x)\$ |
|
\$e^x\$ |
\$e^x\$ |
|
\$a^x\$ |
\$a^x *ln(a)\$ |
|
\$ln(x)\$ |
\$1/x\$ |
|
\$a*f(x)\$ |
\$a*f'(x)\$ |
Faktorregel |
\$f(x)+g(x)\$ |
\$f'(x)+g'(x)\$ |
Summenregel |
\$u(v(x))\$ |
\$u'(v(x))*v'(x)\$ |
Kettenregel |
\$u(x)*v(x)\$ |
\$u(x)*v'(x)+u'(x)*v(x)\$ |
Produktregel |
\${u(x)}/{v(x)}\$ |
\${u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}/{(v(x))^2}\$ |
Quotientenregel |
3. Potenzgesetze
-
\$a^b*a^c=a^{b+c}\$
-
\$a^b : a^c=a^{b-c}\$
-
\$(a^b)^c=a^{b*c}\$
4. Logarithmusgesetze
-
\$ln(a*b)=ln(a)+ln(b)\$
-
\$ln(a/b)=ln(a)-ln(b)\$
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\$ln(a^b)=b*ln(a)\$ ("Hut-ab-Regel")
Gut zu wissen: \$log_a(b)={log(b)}/{log(a)}\$.
Auch richtig mit dem ln: \$log_a(b)={ln(b)}/{ln(a)}\$.