Abstand eines Punktes von einer Ebene

Gegeben seien eine Ebene E und ein Punkt P außerhalb der Ebene.

Bestimme den Abstand des Punktes von der Ebene E.

== Abstand eines Punktes von einer Ebene Gegeben seien eine Ebene E und ein Punkt P außerhalb der Ebene. Bestimme den Abstand des Punktes von der Ebene E.

Führt man diese Schritte allgemein durch, so ergibt sich die folgende Rechnung:

Führt man diese Schritte allgemein durch, so ergibt sich die folgende Rechnung:

Hesse’sche Normalenform (HNF)

Den Abstand eines Punktes P(p1/p2/p3)P(p_1/p_2/p_3)P(p​1​​/p​2​​/p​3​​) von einer Ebene E:a⋅x1+b⋅x2+c⋅x3=d{E}:{a}\cdot{x}_{{1}}+{b}\cdot{x}_{{2}}+{c}\cdot{x}_{{3}}={d}E:a⋅x​1​​+b⋅x​2​​+c⋅x​3​​=d

erhält man über die Anwendung der Formel d(E;P)=∣d−a⋅p1−b⋅p2−c⋅p3∣a2+b2+c2{d}{\left({E};{P}\right)}=\frac{{{\left|{d}-{a}\cdot{p}_{{1}}-{b}\cdot{p}_{{2}}-{c}\cdot{p}_{{3}}\right|}}}{\sqrt{{{a}^{{2}}+{b}^{{2}}+{c}^{{2}}}}}d(E;P)=​√​a​2​​+b​2​​+c​2​​​​​​​∣d−a⋅p​1​​−b⋅p​2​​−c⋅p​3​​∣​​ oder kurz d(E;P)=∣d−n⃗⋅p⃗∣∣n⃗∣{d}{\left({E};{P}\right)}=\frac{{{\left|{d}-\vec{{n}}\cdot\vec{{p}}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}d(E;P)=​∣​n​⃗​​∣​​∣d−​n​⃗​​⋅​p​⃗​​∣​​

=== Hesse'sche Normalenform (HNF) ==== Den Abstand eines Punktes $$P(p_1/p_2/p_3)$$ von einer Ebene $$$E: a*x_1+b*x_2+c*x_3=d$$$ erhält man über die Anwendung der Formel $$$ d(E;P)={|d-a*p_1-b*p_2-c*p_3|}/sqrt(a^2+b^2+c^2) $$$ oder kurz $$$ d(E;P)={|d-vec n * vec p| } / {| vec n |} $$$ ====

Beispiel 1:

Gegeben seien die Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=2E: 1 \cdot x_1+2 \cdot x_2+ 3 \cdot x_3=2 E:1⋅x​1​​+2⋅x​2​​+3⋅x​3​​=2 und der Punkt P(2/3/5)P(2/3/5)P(2/3/5).

*Beispiel 1:* !! !a:1 !b:2 !c:3 !d:2 !p1:2 !p2:3 !p3:5 !! Gegeben seien die Ebene $$E: !!a!! \cdot x_1+!!b!! \cdot x_2+ !!c!! \cdot x_3=!!d!! $$ und der Punkt $$P(!!p1!!/!!p2!!/!!p3!!)$$.

Setzt man diese Werte in die HNF ein, so erhält man als Abstand d(E;P)d(E;P)d(E;P):

∣2−1⋅2−2⋅3−3⋅5∣12+22+32=2114=5.612486080160911 \frac{|2-1 \cdot 2-2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 |}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{21}{\sqrt{14}}= 5.612486080160911 ​√​1​2​​+2​2​​+3​2​​​​​​​∣2−1⋅2−2⋅3−3⋅5∣​​=​√​14​​​​​21​​=5.612486080160911

Setzt man diese Werte in die HNF ein, so erhält man als Abstand $$d(E;P)$$: $$ \frac{|!!d!!-!!a!! \cdot !!p1!!-!!b!! \cdot !!p2!! - !!c!! \cdot !!p3!! |}{\sqrt{!!a!!^2+!!b!!^2+!!c!!^2}}=\frac{!!abs(d-a*p1-b*p2-c*p3)!!}{!!sqrt(a^2+b^2+c^2)!!}= !!#abs(d-a*p1-b*p2-c*p3)/ sqrt(a^2+b^2+c^2)#!! $$

Beispiel 2:

Bestimme die Punkte P1P_1P​1​​ und P2P_2P​2​​, die auf der Gerade g:x⃗=(123)+k⋅(341)g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}3 \\4 \\1 \end{pmatrix}g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​3​4​1​​​⎠​⎞​​ liegen und von der Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=4E:1\cdot x_1+2 \cdot x_2+3 \cdot x_3=4 E:1⋅x​1​​+2⋅x​2​​+3⋅x​3​​=4 den Abstand 5 5 5 haben.

!! !p1:1 !p2:2 !p3:3 !r1:3 !r2:4 !r3:1 !a:1 !b:2 !c:3 !d:4 !abstand:5 !! *Beispiel 2:* Bestimme die Punkte $$P_1$$ und $$P_2$$, die auf der Gerade $$g: \vec{x}=!!vector(p1,p2,p3)!!+k\cdot !!vector(r1,r2,r3)!!$$ liegen und von der Ebene $$E:!!a!!\cdot x_1+!!b!! \cdot x_2+!!c!! \cdot x_3=!!d!! $$ den Abstand !!abstand!! haben.

Ein Punkt P auf der Gerade ggg hat die Koordinaten P(1+k⋅3/2+k⋅4/3+k⋅1)P(1+k\cdot 3/2+k\cdot 4/3+k\cdot 1)P(1+k⋅3/2+k⋅4/3+k⋅1).

Setzt man diesen allgemeinen Punkt und den Abstand in die HNF ein, so erhält man: ∣4−1⋅(1+k⋅3)−2⋅(2+k⋅4)−3⋅(3+k⋅1)∣12+22+32=5 \frac{|4-1\cdot (1+k\cdot 3 ) -2 \cdot (2+k\cdot 4)-3 \cdot (3+k\cdot 1)| }{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=5 ​√​1​2​​+2​2​​+3​2​​​​​​​∣4−1⋅(1+k⋅3)−2⋅(2+k⋅4)−3⋅(3+k⋅1)∣​​=5

Ein Punkt P auf der Gerade $$g$$ hat die Koordinaten $$P(!!p1!!+k\cdot !!r1!!/!!p2!!+k\cdot !!r2!!/!!p3!!+k\cdot !!r3!!)$$. Setzt man diesen allgemeinen Punkt und den Abstand in die HNF ein, so erhält man: $$ \frac{|!!d!!-!!a!!\cdot (!!p1!!+k\cdot !!r1!! ) -!!b!! \cdot (!!p2!!+k\cdot !!r2!!)-!!c!! \cdot (!!p3!!+k\cdot !!r3!!)| }{\sqrt{!!a!!^2+!!b!!^2+!!c!!^2}}=!!abstand!! $$

Vereinfacht bleibt übrig: ∣−14⋅k−10∣14=5 \frac{|-14 \cdot k-10|}{\sqrt{14}} =5 ​√​14​​​​​∣−14⋅k−10∣​​=5 ∣−14⋅k−10∣=5⋅14 |-14 \cdot k-10|= 5 \cdot \sqrt{14} ∣−14⋅k−10∣=5⋅√​14​​​

Vereinfacht bleibt übrig: $$ \frac{|!!d-a*(p1+k*r1)-b*(p2+k*r2)-c*(p3+k*r3)!!|}{!!sqrt(a^2+b^2+c^2)!!} =!!abstand!! $$ $$ |!!d-a*(p1+k*r1)-b*(p2+k*r2)-c*(p3+k*r3)!!|= !!sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand!! $$

Das führt zu einer Fallunterscheidung: der Wert zwischen den Betragsstrichen kann 5⋅145 \cdot \sqrt{14} 5⋅√​14​​​ oder −5⋅14 -5 \cdot \sqrt{14} −5⋅√​14​​​ sein.

Das führt zu einer *Fallunterscheidung*: der Wert zwischen den Betragsstrichen kann $$!!sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand!! $$ oder $$ !!-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand!! $$ sein.

Fall 1: −14⋅k1−10=5⋅14 -14 \cdot k_1-10=5 \cdot \sqrt{14} −14⋅k​1​​−10=5⋅√​14​​​ −14⋅k1=5⋅14+10 -14 \cdot k_1=5 \cdot \sqrt{14}+10 −14⋅k​1​​=5⋅√​14​​​+10 k1=−(5⋅14+10)14=−2.0505919238478363 k_1=-\frac{\left(5 \cdot \sqrt{14}+10\right)}{14}=-2.0505919238478363 k​1​​=−​14​​(5⋅√​14​​​+10)​​=−2.0505919238478363

*Fall 1:* $$ !!(-a*r1-b*r2-c*r3)*k_1 +d-a*p1-b*p2-c*p3!!=!! sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand!! $$ $$ !!(-a*r1-b*r2-c*r3)*k_1 !!=!! sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3)!! $$ $$ k_1=!!(sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3)!!=!!#(sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3) #!! $$

Fall 2: −14⋅k2−10=−5⋅14 -14 \cdot k_2-10=-5 \cdot \sqrt{14} −14⋅k​2​​−10=−5⋅√​14​​​ −14⋅k2=−5⋅14+10 -14 \cdot k_2=-5 \cdot \sqrt{14}+10 −14⋅k​2​​=−5⋅√​14​​​+10 k2=−(−5⋅14+10)14=0.6220204952764077 k_2=-\frac{\left(-5 \cdot \sqrt{14}+10\right)}{14}=0.6220204952764077 k​2​​=−​14​​(−5⋅√​14​​​+10)​​=0.6220204952764077

*Fall 2:* $$ !!(-a*r1-b*r2-c*r3)*k_2 +d-a*p1-b*p2-c*p3!!=!!-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand!! $$ $$ !!(-a*r1-b*r2-c*r3)*k_2 !!=!!-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3)!! $$ $$ k_2=!!(-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3)!!=!!#(-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3) #!! $$ !! !k_1:(sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3) !k_2:(-sqrt(a^2+b^2+c^2)*abstand-(+d-a*p1-b*p2-c*p3))/(-a*r1-b*r2-c*r3) !!

Einsetzen in die Geradengleichung ergibt: P1(−15⋅1414−87/−10⋅147−67/−5⋅1414+167) P_1(-\frac{15 \cdot \sqrt{14}}{14}-\frac{8}{7}/-\frac{10 \cdot \sqrt{14}}{7}-\frac{6}{7}/ -\frac{5 \cdot \sqrt{14}}{14}+\frac{16}{7}) P​1​​(−​14​​15⋅√​14​​​​​−​7​​8​​/−​7​​10⋅√​14​​​​​−​7​​6​​/−​14​​5⋅√​14​​​​​+​7​​16​​) oder näherungsweise P1(−5.151775771543509/−6.202367695391344/0.9494080761521638) P_1(-5.151775771543509/-6.202367695391344/ 0.9494080761521638) P​1​​(−5.151775771543509/−6.202367695391344/0.9494080761521638) Analog dazu gilt: P2(15⋅1414−87/10⋅147−67/5⋅1414+167) P_2(\frac{15 \cdot \sqrt{14}}{14}-\frac{8}{7}/\frac{10 \cdot \sqrt{14}}{7}-\frac{6}{7}/ \frac{5 \cdot \sqrt{14}}{14}+\frac{16}{7}) P​2​​(​14​​15⋅√​14​​​​​−​7​​8​​/​7​​10⋅√​14​​​​​−​7​​6​​/​14​​5⋅√​14​​​​​+​7​​16​​) oder näherungsweise P2(2.866061485829223/4.48808198110563/3.6220204952764074) P_2(2.866061485829223/4.48808198110563/ 3.6220204952764074) P​2​​(2.866061485829223/4.48808198110563/3.6220204952764074)

Einsetzen in die Geradengleichung ergibt: $$ P_1(!!p1+k_1*r1!!/!!p2+k_1*r2!!/ !!p3+k_1*r3!!) $$ oder näherungsweise $$ P_1(!!#p1+k_1*r1#!!/!!#p2+k_1*r2#!!/ !!#p3+k_1*r3#!!) $$ Analog dazu gilt: $$ P_2(!!p1+k_2*r1!!/!!p2+k_2*r2!!/ !!p3+k_2*r3!!) $$ oder näherungsweise $$ P_2(!!#p1+k_2*r1#!!/!!#p2+k_2*r2#!!/ !!#p3+k_2 *r3#!!) $$