Abstand eines Punktes von einer Ebene

Gegeben seien eine Ebene E und ein Punkt P außerhalb der Ebene.

Bestimme den Abstand des Punktes von der Ebene E.

Hesse’sche Normalenform (HNF)

Den Abstand eines Punktes P(p1/p2/p3)P(p_1/p_2/p_3) von einer Ebene E:a⋅x1+b⋅x2+c⋅x3=d{E}:{a}\cdot{x}_{{1}}+{b}\cdot{x}_{{2}}+{c}\cdot{x}_{{3}}={d}

erhält man über die Anwendung der Formel d(E;P)=∣d−a⋅p1−b⋅p2−c⋅p3∣a2+b2+c2{d}{\left({E};{P}\right)}=\frac{{{\left|{d}-{a}\cdot{p}_{{1}}-{b}\cdot{p}_{{2}}-{c}\cdot{p}_{{3}}\right|}}}{\sqrt{{{a}^{{2}}+{b}^{{2}}+{c}^{{2}}}}} oder kurz d(E;P)=∣d−n⃗⋅p⃗∣∣n⃗∣{d}{\left({E};{P}\right)}=\frac{{{\left|{d}-\vec{{n}}\cdot\vec{{p}}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}

Beispiel 1:

Gegeben seien die Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=2E: 1 \cdot x_1+2 \cdot x_2+ 3 \cdot x_3=2 und der Punkt P(2/3/5)P(2/3/5).

Setzt man diese Werte in die HNF ein, so erhält man als Abstand d(E;P)d(E;P):

∣2−1⋅2−2⋅3−3⋅5∣12+22+32=2114=5.612486080160911 \frac{|2-1 \cdot 2-2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 |}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{21}{\sqrt{14}}= 5.612486080160911

Beispiel 2:

Bestimme die Punkte P1P_1 und P2P_2, die auf der Gerade g:x⃗=(123)+k⋅(341)g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}3 \\4 \\1 \end{pmatrix} liegen und von der Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=4E:1\cdot x_1+2 \cdot x_2+3 \cdot x_3=4 den Abstand 5 5 haben.

Ein Punkt P auf der Gerade gg hat die Koordinaten P(1+k⋅3/2+k⋅4/3+k⋅1)P(1+k\cdot 3/2+k\cdot 4/3+k\cdot 1).

Setzt man diesen allgemeinen Punkt und den Abstand in die HNF ein, so erhält man: ∣4−1⋅(1+k⋅3)−2⋅(2+k⋅4)−3⋅(3+k⋅1)∣12+22+32=5 \frac{|4-1\cdot (1+k\cdot 3 ) -2 \cdot (2+k\cdot 4)-3 \cdot (3+k\cdot 1)| }{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=5

Vereinfacht bleibt übrig: ∣−14⋅k−10∣14=5 \frac{|-14 \cdot k-10|}{\sqrt{14}} =5 ∣−14⋅k−10∣=5⋅14 |-14 \cdot k-10|= 5 \cdot \sqrt{14}

Das führt zu einer Fallunterscheidung: der Wert zwischen den Betragsstrichen kann 5⋅145 \cdot \sqrt{14} oder −5⋅14 -5 \cdot \sqrt{14} sein.

Fall 1: −14⋅k1−10=5⋅14 -14 \cdot k_1-10=5 \cdot \sqrt{14} −14⋅k1=5⋅14+10 -14 \cdot k_1=5 \cdot \sqrt{14}+10 k1=−(5⋅14+10)14=−2.0505919238478363 k_1=-\frac{\left(5 \cdot \sqrt{14}+10\right)}{14}=-2.0505919238478363

Fall 2: −14⋅k2−10=−5⋅14 -14 \cdot k_2-10=-5 \cdot \sqrt{14} −14⋅k2=−5⋅14+10 -14 \cdot k_2=-5 \cdot \sqrt{14}+10 k2=−(−5⋅14+10)14=0.6220204952764077 k_2=-\frac{\left(-5 \cdot \sqrt{14}+10\right)}{14}=0.6220204952764077

Einsetzen in die Geradengleichung ergibt: P1(−15⋅1414−87/−10⋅147−67/−5⋅1414+167) P_1(-\frac{15 \cdot \sqrt{14}}{14}-\frac{8}{7}/-\frac{10 \cdot \sqrt{14}}{7}-\frac{6}{7}/ -\frac{5 \cdot \sqrt{14}}{14}+\frac{16}{7}) oder näherungsweise P1(−5.151775771543509/−6.202367695391344/0.9494080761521638) P_1(-5.151775771543509/-6.202367695391344/ 0.9494080761521638) Analog dazu gilt: P2(15⋅1414−87/10⋅147−67/5⋅1414+167) P_2(\frac{15 \cdot \sqrt{14}}{14}-\frac{8}{7}/\frac{10 \cdot \sqrt{14}}{7}-\frac{6}{7}/ \frac{5 \cdot \sqrt{14}}{14}+\frac{16}{7}) oder näherungsweise P2(2.866061485829223/4.48808198110563/3.6220204952764074) P_2(2.866061485829223/4.48808198110563/ 3.6220204952764074)