Den Abstand eines Punktes von einer Ebene
erhält man über die Anwendung der Formel oder kurz
Gegeben seien eine Ebene E und ein Punkt P außerhalb der Ebene.
Bestimme den Abstand des Punktes von der Ebene E.
Den Abstand eines Punktes P(p1/p2/p3) von einer Ebene E:a⋅x1+b⋅x2+c⋅x3=d
erhält man über die Anwendung der Formel d(E;P)=√a2+b2+c2∣d−a⋅p1−b⋅p2−c⋅p3∣ oder kurz d(E;P)=∣n⃗∣∣d−n⃗⋅p⃗∣
Beispiel 1:
Gegeben seien die Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=2 und der Punkt P(2/3/5).
Setzt man diese Werte in die HNF ein, so erhält man als Abstand d(E;P):
√12+22+32∣2−1⋅2−2⋅3−3⋅5∣=√1421=5.612486080160911
Beispiel 2:
Bestimme die Punkte P1 und P2, die auf der Gerade g:x⃗=⎝⎛123⎠⎞+k⋅⎝⎛341⎠⎞ liegen und von der Ebene E:1⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=4 den Abstand 5 haben.
Ein Punkt P auf der Gerade g hat die Koordinaten P(1+k⋅3/2+k⋅4/3+k⋅1).
Setzt man diesen allgemeinen Punkt und den Abstand in die HNF ein, so erhält man: √12+22+32∣4−1⋅(1+k⋅3)−2⋅(2+k⋅4)−3⋅(3+k⋅1)∣=5
Vereinfacht bleibt übrig: √14∣−14⋅k−10∣=5 ∣−14⋅k−10∣=5⋅√14
Das führt zu einer Fallunterscheidung: der Wert zwischen den Betragsstrichen kann 5⋅√14 oder −5⋅√14 sein.
Fall 1: −14⋅k1−10=5⋅√14 −14⋅k1=5⋅√14+10 k1=−14(5⋅√14+10)=−2.0505919238478363
Fall 2: −14⋅k2−10=−5⋅√14 −14⋅k2=−5⋅√14+10 k2=−14(−5⋅√14+10)=0.6220204952764077
Einsetzen in die Geradengleichung ergibt: P1(−1415⋅√14−78/−710⋅√14−76/−145⋅√14+716) oder näherungsweise P1(−5.151775771543509/−6.202367695391344/0.9494080761521638) Analog dazu gilt: P2(1415⋅√14−78/710⋅√14−76/145⋅√14+716) oder näherungsweise P2(2.866061485829223/4.48808198110563/3.6220204952764074)