Tipp:
Um den Flächeninhalt F eines Dreiecks zu berechnen, verwendet man die Formel , wobei die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe ist, die auf der Grundseite senkrecht steht und durch den gegenüber liegenden Punkt verläuft.
Klar?
Problem:
Gegeben seien eine Gerade g:x⃗=⎝⎛s1s2s3⎠⎞+k⋅⎝⎛u1u2u3⎠⎞ mit k∈R und ein Punkt A(a1/a2/a3), der außerhalb der Gerade liegt.
Bestimme den Abstand des Punktes von der Geraden.
Es gibt mehrere Möglichkeiten dieses Problem zu lösen. Das sind
Arbeite die einzelnen Verfahren durch und löse am Ende die Übungsaufgaben.
Die Grundidee besteht darin, dass man einen allgemeinen Punkt Pk auf der Geraden entlanglaufen lässt. Man stellt einen Ausdruck für den Abstand des Punktes Pk zu A auf und sucht für diesen Ausdruck das Minimum.
Die Grafik zeigt die Idee (mehrmals klicken):
Beispiel:
Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=⎝⎛123⎠⎞+k⋅⎝⎛112⎠⎞ und A(2/3/4) mit dem Extremwertverfahren.
Lösung:
Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: d(k)=√(k−1)2+(k−1)2+(2⋅k−1)2
Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für k den Wert 32 und als Abstand somit √31=0.5773502691896258.
Wieder arbeitet man mit einem allgemeinen Punkt Pk, nur nutzt man diesmal die Tatsache aus, dass im Fall der kürzesten Verbindung zwischen A und Pk der Vektor APk⃗ senkrecht auf dem Richtungsvektor von g steht:
Diese Aussage ist gleichbedeutend mit APk⃗⋅u⃗=0 Löst man diese Gleichung nach k auf und bestimmt damit d(A;Pk)=∣APk⃗∣, so entspricht dies auch dem Abstand zwischen A und g.
Beispiel:
Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=⎝⎛123⎠⎞+k⋅⎝⎛112⎠⎞ und A(2/3/4) mit dem Orthogonalitätsverfahren.
Lösung:
Der allgemeine Punkt Pk(1+k⋅1/2+k⋅1/3+k⋅2) führt zum Vektor APk⃗=⎝⎛k+1k+22⋅k+3⎠⎞−⎝⎛234⎠⎞=⎝⎛k−1k−12⋅k−1⎠⎞
Nun muss die Gleichung ⎝⎛k−1k−12⋅k−1⎠⎞⋅⎝⎛112⎠⎞=0 gelöst werden.
Das Skalarprodukt liefert: 6⋅k−4=0
und diese Gleichung wird gelöst für k=32.
Eingesetzt in d(A;g)=d(A;Pk)=∣APk⃗∣ erhält man d(A;g)=∣APk⃗∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⎝⎜⎜⎜⎜⎛−31−3131⎠⎟⎟⎟⎟⎞∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=√31 wobei √31=0.5773502691896258.
Eine weitere Methode besteht darin, dass man eine Hilfsebene H verwendet, die senkrecht auf g steht und durch A verläuft.
Da der Normalenvektor der Ebene dem Richtungsvektor der Gerade entspricht, kann man H schnell aufstellen.
Schneidet man die Hilfsebene mit der Gerade, so erhält man einen Punkt P, der von allen Punkten auf g zu A den kleinsten Abstand hat, da dort ein rechter Winkel vorliegt:
Beispiel:
Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=⎝⎛123⎠⎞+k⋅⎝⎛112⎠⎞ und A(2/3/4) mit einer Hilfsebene.
Lösung:
H:1⋅x1+1⋅x2+2⋅x3=1⋅2+1⋅3+2⋅4=13
Schnitt von H mit g ergibt zusammengefasst 6⋅k+9=13,
so dass k=32.
Eingesetzt in g erhält man den Punkt P(35/38/313).
Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⎝⎜⎜⎜⎜⎛3131−31⎠⎟⎟⎟⎟⎞∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=√31 Gerundet ist das 0.5773502691896258.
Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=⎝⎛−212⎠⎞+k⋅⎝⎛110⎠⎞ und A(1/1/1) mit allen drei Methoden.
Hier findest du die zugehörigen Lösungen zu Aufgabe 1:
Lösung mit der Extremwertmethode:
Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: d(k)=√(k−3)2+(k)2+(1)2
Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für k den Wert 23 und als Abstand somit √2√11=2.345207879911715.
Lösung mit dem Orthogonalitätsverfahren:
Der allgemeine Punkt Pk(−2+k⋅1/1+k⋅1/2+k⋅0) führt zum Vektor APk⃗=⎝⎛k−2k+12⎠⎞−⎝⎛111⎠⎞=⎝⎛k−3k1⎠⎞
Nun muss die Gleichung ⎝⎛k−3k1⎠⎞⋅⎝⎛110⎠⎞=0 gelöst werden.
Das Skalarprodukt liefert: 2⋅k−3=0
und diese Gleichung wird gelöst für k=23.
Eingesetzt in d(A;g)=d(A;Pk)=∣APk⃗∣ erhält man d(A;g)=∣APk⃗∣=∣∣∣∣∣∣∣∣⎝⎜⎜⎛−23231⎠⎟⎟⎞∣∣∣∣∣∣∣∣=√2√11 wobei √2√11=2.345207879911715.
Lösung mit einer Hilfsebene:
H:1⋅x1+1⋅x2+0⋅x3=1⋅1+1⋅1+0⋅1=2
Schnitt von H mit g ergibt zusammengefasst 2⋅k−1=2,
so dass k=23.
Eingesetzt in g erhält man den Punkt P(−21/25/2).
Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=∣∣∣∣∣∣∣∣⎝⎜⎜⎛23−23−1⎠⎟⎟⎞∣∣∣∣∣∣∣∣=√2√11 Gerundet ist das 2.345207879911715.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2/2/−1), B(2/4/5) und C(2/−2/2) festgelegt ist.
Wenn du gar nicht weißt, wie du anfangen sollst, dann gibt es hier einen Tipp.
Tipp:
Um den Flächeninhalt F eines Dreiecks zu berechnen, verwendet man die Formel F=21⋅g⋅h, wobei g die Länge der Grundseite und h die Länge der Höhe ist, die auf der Grundseite senkrecht steht und durch den gegenüber liegenden Punkt verläuft.
Klar?
Lösung zu Aufgabe 2:
Strategie:
Gerade gAB durch die Punkte A und B aufstellen
h=d(gAB,C) bestimmen
F=21⋅∣∣∣AB⃗∣∣∣⋅h berechnen
gAB:x⃗=⎝⎛22−1⎠⎞+k⋅⎝⎛026⎠⎞
Bestimmt man den Abstand mit der Orthogonalitätsmethode, so erhält man:
Der allgemeine Punkt Pk(2+k⋅0/2+k⋅2/−1+k⋅6) führt zum Vektor CPk⃗=⎝⎛22⋅k+26⋅k−1⎠⎞−⎝⎛2−22⎠⎞=⎝⎛02⋅k+46⋅k−3⎠⎞
Nun muss die Gleichung ⎝⎛02⋅k+46⋅k−3⎠⎞⋅⎝⎛026⎠⎞=0 gelöst werden.
Das Skalarprodukt liefert: 40⋅k−10=0
und diese Gleichung wird gelöst für k=41.
Eingesetzt in d(C;g)=d(C;Pk)=∣CPk⃗∣ erhält man d(C;g)=∣CPk⃗∣=∣∣∣∣∣∣∣∣⎝⎜⎜⎛029−23⎠⎟⎟⎞∣∣∣∣∣∣∣∣=√23⋅√5 wobei √23⋅√5=4.743416490252569.
Somit gilt
h=√23⋅√5=4.743416490252569
Nun benötigen wir noch ∣AB⃗∣=∣∣∣∣∣∣⎝⎛026⎠⎞∣∣∣∣∣∣=2⋅√10
Insgesamt ergibt sich so für den Flächeninhalt des Dreiecks: F=21⋅∣AB⃗∣⋅h=21⋅2⋅√10⋅√23⋅√5=√23⋅√10⋅√5
Der Mittelpunkt der Erde befinde sich bei O(0/0/0). Ihr Durchmesser beträgt 6378 km.
Vor kurzem wurde ein Komet beobachtet dessen Position zum Zeitpunkt k (k in Tagen seit Jahresbeginn) durch die Geradengleichung g:x⃗=⎝⎛−20000000⎠⎞+k⋅⎝⎛20000200030⎠⎞ beschrieben werden kann (alle Koordinaten in km).
Berechne die Geschwindigkeit des Kometen
Berechne, wann der Komet der Erde am nächsten kommt.
Berechne den Abstand des Kometen zur Erdoberfläche zu diesem Zeitpunkt.
Geschwindigkeit:
Das ist der Betrag des Richtungsvektors der Gerade. v=∣u⃗∣=∣∣∣∣∣∣⎝⎛20000200030⎠⎞∣∣∣∣∣∣=20099.77363056609 Die Einheit ist Tagkm.
Zeitpunkt des kürzesten Abstandes und Abstand:
Wir nutzen hierzu das Verfahren mit der Hilfsebene.
H:20000⋅x1+2000⋅x2+30⋅x3=20000⋅0+2000⋅0+30⋅0=0
Schnitt von H mit g ergibt zusammengefasst 404000900⋅k−4000000000=0,
so dass k=9.900968042397925.
Eingesetzt in g erhält man den Punkt P(−1980.639152041493/19801.936084795852/297.0290412719378).
Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=19902.960342830876 Somit ist der Zeitpunkt des kürzesten Abstands zum Erdmittelpunkt 9.900968042397925 Tage nach Jahresbeginn und der Abstand zum Erdmittelpunkt beträgt dann 19902.960342830876 km, also 16713.960342830876 km von der Erdoberfläche.