Abstand Punkt-Gerade

Problem:

Gegeben seien eine Gerade g:x⃗=(s1s2s3)+k⋅(u1u2u3) mit k∈R g: \vec{x}=\begin{pmatrix}s_1 \\s_2 \\s_3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}u_1 \\u_2 \\u_3 \end{pmatrix} \text{ mit } k \in \mathbb{R} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​s​1​​​s​2​​​s​3​​​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​u​1​​​u​2​​​u​3​​​​​⎠​⎞​​ mit k∈R und ein Punkt A(a1/a2/a3)A(a_1/a_2/a_3)A(a​1​​/a​2​​/a​3​​), der außerhalb der Gerade liegt.

Bestimme den Abstand des Punktes von der Geraden.

== Abstand Punkt-Gerade *Problem:* Gegeben seien eine Gerade $$ g: \vec{x}=!!vector(s_1,s_2,s_3)!!+k\cdot !!vector(u_1,u_2,u_3)!! \text{ mit } k \in \mathbb{R} $$ und ein Punkt $$A(a_1/a_2/a_3)$$, der außerhalb der Gerade liegt. Bestimme den Abstand des Punktes von der Geraden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten dieses Problem zu lösen. Das sind

  • die Extremwertmethode

  • die Orthogonalitätsmethode

  • die Hilfsebenenmethode

Arbeite die einzelnen Verfahren durch und löse am Ende die Übungsaufgaben.

Es gibt mehrere Möglichkeiten dieses Problem zu lösen. Das sind * <<tags_b,die Extremwertmethode>> * <<tags_d,die Orthogonalitätsmethode>> * <<tags_f,die Hilfsebenenmethode>> Arbeite die einzelnen Verfahren durch und löse am Ende die <<tags_h,Übungsaufgaben>>.

Extremwertmethode

Die Grundidee besteht darin, dass man einen allgemeinen Punkt PkP_kP​k​​ auf der Geraden entlanglaufen lässt. Man stellt einen Ausdruck für den Abstand des Punktes PkP_kP​k​​ zu AAA auf und sucht für diesen Ausdruck das Minimum.

Die Grafik zeigt die Idee (mehrmals klicken):

=== Extremwertmethode Die Grundidee besteht darin, dass man einen _allgemeinen Punkt_ $$P_k$$ auf der Geraden entlanglaufen lässt. Man stellt einen Ausdruck für den Abstand des Punktes $$P_k$$ zu $$A$$ auf und sucht für diesen Ausdruck das Minimum. Die Grafik zeigt die Idee (mehrmals klicken):

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=(123)+k⋅(112) g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\2 \end{pmatrix} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​1​1​2​​​⎠​⎞​​ und A(2/3/4)A(2/3/4)A(2/3/4) mit dem Extremwertverfahren.

*Beispiel:* !! !a1:2 !a2:3 !a3:4 !s1:1 !s2:2 !s3:3 !u1:1 !u2:1 !u3:2 !! Bestimme den Abstand zwischen $$ g: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s3)!!+k\cdot !!vector(u1,u2,u3)!! $$ und $$A(!!a1!!/!!a2!!/!!a3!!)$$ mit dem Extremwertverfahren.

Lösung:

Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: d(k)=(k−1)2+(k−1)2+(2⋅k−1)2 d(k)=\sqrt{(k-1)^2+(k-1)^2+(2 \cdot k-1)^2} d(k)=√​(k−1)​2​​+(k−1)​2​​+(2⋅k−1)​2​​​​​

Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für kkk den Wert 23 \frac{2}{3} ​3​​2​​ und als Abstand somit 13 \frac{1}{\sqrt{3}} ​√​3​​​​​1​​=0.5773502691896258 0.5773502691896258 0.5773502691896258.

*Lösung:* Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: $$ d(k)=\sqrt{(!!s1+k*u1-a1!!)^2+(!!s2+k*u2-a2!!)^2+(!!s3+k*u3-a3!!)^2} $$ !! !z1:expand((s1+k*u1-a1)^2) !z2:expand((s2+k*u2-a2)^2) !z3:expand((s3+k*u3-a3)^2) !w:sqrt(z1+z2+z3) !d(k):=sqrt(z1+z2+z3) !abl(k):=diff(d(k),k) !k_0:vecget(solve(abl(k),k),0) !d(k_0) !! Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für $$k$$ den Wert !!k_0!! und als Abstand somit !!d(k_0)!!=!!#d(k_0)#!!.
!! !startx:-2 !endex:2 !starty:-1 !endey:2 !! !ppp ratio:!!endex-startx!!,!!endey-starty!! xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1 yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1 pen:#ccccff,4 grid:0.5,0.5 pen:blue,10,0,0 function:d(k) pen:red,10,20,20 line:!!k_0!!,0,!!k_0!!,!!d(k_0)!! line:!!k_0!!,!!d(k_0)!!,0,!!d(k_0)!! !ppp

Orthogonalitätsmethode

Wieder arbeitet man mit einem allgemeinen Punkt PkP_kP​k​​, nur nutzt man diesmal die Tatsache aus, dass im Fall der kürzesten Verbindung zwischen A und PkP_kP​k​​ der Vektor APk⃗\vec{AP_k}​AP​k​​​⃗​​ senkrecht auf dem Richtungsvektor von g steht:

=== Orthogonalitätsmethode Wieder arbeitet man mit einem allgemeinen Punkt $$P_k$$, nur nutzt man diesmal die Tatsache aus, dass im Fall der kürzesten Verbindung zwischen A und $$P_k$$ der Vektor $$\vec{AP_k}$$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von g steht:

Diese Aussage ist gleichbedeutend mit APk⃗⋅u⃗=0\vec{{{A}{P}_{{k}}}}\cdot\vec{{{u}}}={0}​AP​k​​​⃗​​⋅​u​⃗​​=0 Löst man diese Gleichung nach kkk auf und bestimmt damit d(A;Pk)=∣APk⃗∣d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|d(A;P​k​​)=∣​AP​k​​​⃗​​∣, so entspricht dies auch dem Abstand zwischen AAA und ggg.

Diese Aussage ist gleichbedeutend mit $$$ vec{AP_k}*vec{u}=0 $$$ Löst man diese Gleichung nach $$k$$ auf und bestimmt damit $$d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|$$, so entspricht dies auch dem Abstand zwischen $$A$$ und $$g$$.

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=(123)+k⋅(112) g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\2 \end{pmatrix} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​1​1​2​​​⎠​⎞​​ und A(2/3/4)A(2/3/4)A(2/3/4) mit dem Orthogonalitätsverfahren.

*Beispiel:* Bestimme den Abstand zwischen $$ g: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s3)!!+k\cdot !!vector(u1,u2,u3)!! $$ und $$A(!!a1!!/!!a2!!/!!a3!!)$$ mit dem Orthogonalitätsverfahren.

Lösung:

Der allgemeine Punkt Pk(1+k⋅1/2+k⋅1/3+k⋅2)P_k(1+k\cdot1/2+k\cdot1/3+k\cdot2)P​k​​(1+k⋅1/2+k⋅1/3+k⋅2) führt zum Vektor APk⃗=(k+1k+22⋅k+3)−(234)=(k−1k−12⋅k−1) \vec{AP_k} =\begin{pmatrix}k+1 \\k+2 \\2 \cdot k+3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 \\3 \\4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}k-1 \\k-1 \\2 \cdot k-1 \end{pmatrix} ​AP​k​​​⃗​​=​⎝​⎛​​​k+1​k+2​2⋅k+3​​​⎠​⎞​​−​⎝​⎛​​​2​3​4​​​⎠​⎞​​=​⎝​⎛​​​k−1​k−1​2⋅k−1​​​⎠​⎞​​

Nun muss die Gleichung (k−1k−12⋅k−1)⋅(112)=0 \begin{pmatrix}k-1 \\k-1 \\2 \cdot k-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\2 \end{pmatrix}=0 ​⎝​⎛​​​k−1​k−1​2⋅k−1​​​⎠​⎞​​⋅​⎝​⎛​​​1​1​2​​​⎠​⎞​​=0 gelöst werden.

Das Skalarprodukt liefert: 6⋅k−4=0 6 \cdot k-4=0 6⋅k−4=0

und diese Gleichung wird gelöst für k=23k=\frac{2}{3}k=​3​​2​​.

Eingesetzt in d(A;g)=d(A;Pk)=∣APk⃗∣d(A;g)=d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|d(A;g)=d(A;P​k​​)=∣​AP​k​​​⃗​​∣ erhält man d(A;g)=∣APk⃗∣=∣(−13−1313)∣=13 d(A;g)=|\vec{AP_k}| =\left|\begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\-\frac{1}{3} \\\frac{1}{3} \end{pmatrix}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}} d(A;g)=∣​AP​k​​​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎜​⎜​⎜​⎜​⎛​​​−​3​​1​​​−​3​​1​​​​3​​1​​​​​⎠​⎟​⎟​⎟​⎟​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=​√​3​​​​​1​​ wobei 13=0.5773502691896258\frac{1}{\sqrt{3}}=0.5773502691896258​√​3​​​​​1​​=0.5773502691896258.

*Lösung:* Der allgemeine Punkt $$P_k(!!s1!!+k\cdot!!u1!!/!!s2!!+k\cdot!!u2!!/!!s3!!+k\cdot!!u3!!)$$ führt zum Vektor $$ \vec{AP_k} =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3)!! -!!vector(a1,a2,a3)!! =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k *u3) -vector(a1,a2,a3)!! $$ !! !v:vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3) -vector(a1,a2,a3) !! Nun muss die Gleichung $$ !!v!!\cdot !!vector(u1,u2,u3)!!=0 $$ gelöst werden. Das Skalarprodukt liefert: $$ !!dot(v,vector(u1,u2,u3))!!=0 $$ !! !f(k):=dot(v,vector(u1,u2,u3)) !k_0:vecget(solve(dot(v,vector(u1,u2,u3)),k), 0) !! und diese Gleichung wird gelöst für $$k=!!k_0!!$$. Eingesetzt in $$d(A;g)=d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|$$ erhält man $$ d(A;g)=|\vec{AP_k}| =\left|!!vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) -vector(a1,a2,a3)!!\right|=!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!! $$ wobei $$!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!!=!!#sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)#!!$$.

Abstand Punkt-Gerade mit einer Hilfsebene

Eine weitere Methode besteht darin, dass man eine Hilfsebene HHH verwendet, die senkrecht auf ggg steht und durch AAA verläuft.

Da der Normalenvektor der Ebene dem Richtungsvektor der Gerade entspricht, kann man HHH schnell aufstellen.

Schneidet man die Hilfsebene mit der Gerade, so erhält man einen Punkt PPP, der von allen Punkten auf ggg zu AAA den kleinsten Abstand hat, da dort ein rechter Winkel vorliegt:

=== Abstand Punkt-Gerade mit einer Hilfsebene Eine weitere Methode besteht darin, dass man eine Hilfsebene $$H$$ verwendet, die senkrecht auf $$g$$ steht und durch $$A$$ verläuft. Da der Normalenvektor der Ebene dem Richtungsvektor der Gerade entspricht, kann man $$H$$ schnell aufstellen. Schneidet man die Hilfsebene mit der Gerade, so erhält man einen Punkt $$P$$, der von allen Punkten auf $$g$$ zu $$A$$ den kleinsten Abstand hat, da dort ein rechter Winkel vorliegt:

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=(123)+k⋅(112) g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\2 \end{pmatrix} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​1​1​2​​​⎠​⎞​​ und A(2/3/4)A(2/3/4)A(2/3/4) mit einer Hilfsebene.

*Beispiel:* Bestimme den Abstand zwischen $$ g: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s3)!!+k\cdot !!vector(u1,u2,u3)!! $$ und $$A(!!a1!!/!!a2!!/!!a3!!)$$ mit einer Hilfsebene.

Lösung:

H:1⋅x1+1⋅x2+2⋅x3=1⋅2+1⋅3+2⋅4=13H: 1\cdot x_1+1\cdot x_2+ 2\cdot x_3 = 1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 4 = 13H:1⋅x​1​​+1⋅x​2​​+2⋅x​3​​=1⋅2+1⋅3+2⋅4=13

Schnitt von HHH mit ggg ergibt zusammengefasst 6⋅k+9=13, 6 \cdot k+9 = 13, 6⋅k+9=13,

so dass k=23k=\frac{2}{3}k=​3​​2​​.

Eingesetzt in ggg erhält man den Punkt P(53/83/133)P(\frac{5}{3}/\frac{8}{3}/\frac{13}{3})P(​3​​5​​/​3​​8​​/​3​​13​​).

Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣|\vec{PA}|∣​PA​⃗​​∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=∣(1313−13)∣=13 d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=\left| \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\\frac{1}{3} \\-\frac{1}{3} \end{pmatrix} \right| =\frac{1}{\sqrt{3}} d(A;g)=d(P;A)=∣​PA​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎜​⎜​⎜​⎜​⎛​​​​3​​1​​​​3​​1​​​−​3​​1​​​​​⎠​⎟​⎟​⎟​⎟​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=​√​3​​​​​1​​ Gerundet ist das 0.5773502691896258 0.5773502691896258 0.5773502691896258.

*Lösung:* $$H: !!u1!!\cdot x_1+!!u2!!\cdot x_2+ !!u3!!\cdot x_3 = !!u1!!\cdot !!a1!!+!!u2!!\cdot !!a2!!+!!u3!!\cdot !!a3!! = !!u1*a1+u2*a2+u3*a3!!$$ !! !de:u1*a1+u2*a2+u3*a3 !! Schnitt von $$H$$ mit $$g$$ ergibt zusammengefasst $$ !!u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3*(s3+k*u3)!! = !!de!!, $$ !! !k_0:vecget(solve(u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3(s3+k*u3)-de,k),0) !! so dass $$k=!!k_0!!$$. Eingesetzt in $$g$$ erhält man den Punkt $$P(!!s1+k_0*u1!!/!!s2+k_0*u2!!/!!s3+k_0*u3!!)$$. !! !vecp:vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) !! Nun bestimmt man noch $$|\vec{PA}|$$ und erhält dafür $$ d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=\left| !!vector(a1,a2,a3)-vecp!! \right| =!!sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)!! $$ Gerundet ist das !!#sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)#!!.

Übungsaufgaben

=== Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Bestimme den Abstand zwischen g:x⃗=(−212)+k⋅(110) g: \vec{x}=\begin{pmatrix}-2 \\1 \\2 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \end{pmatrix} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​−2​1​2​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​1​1​0​​​⎠​⎞​​ und A(1/1/1)A(1/1/1)A(1/1/1) mit allen drei Methoden.

==== Aufgabe 1: !! !a1:1 !a2:1 !a3:1 !s1:-2 !s2:1 !s3:2 !u1:1 !u2:1 !u3:0 !! Bestimme den Abstand zwischen $$ g: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s3)!!+k\cdot !!vector(u1,u2,u3)!! $$ und $$A(!!a1!!/!!a2!!/!!a3!!)$$ mit allen drei Methoden.

Hier findest du die zugehörigen Lösungen zu Aufgabe 1:

  • Extremwertmethode

  • Orthogonalitätsmethode

  • Hilfsebene

Hier findest du die zugehörigen *Lösungen zu Aufgabe 1:* * <<tags_i,Extremwertmethode>> * <<tags_j,Orthogonalitätsmethode>> * <<tags_k,Hilfsebene>>

Lösung mit der Extremwertmethode:

Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: d(k)=(k−3)2+(k)2+(1)2 d(k)=\sqrt{(k-3)^2+(k)^2+(1)^2} d(k)=√​(k−3)​2​​+(k)​2​​+(1)​2​​​​​

Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für kkk den Wert 32 \frac{3}{2} ​2​​3​​ und als Abstand somit 112 \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} ​√​2​​​​​√​11​​​​​=2.345207879911715 2.345207879911715 2.345207879911715.

*Lösung mit der Extremwertmethode:* Das Einsetzen der Zahlenwerte in die Formel führt zu: $$ d(k)=\sqrt{(!!s1+k*u1-a1!!)^2+(!!s2+k*u2-a2!!)^2+(!!s3+k*u3-a3!!)^2} $$ !! !z1:expand((s1+k*u1-a1)^2) !z2:expand((s2+k*u2-a2)^2) !z3:expand((s3+k*u3-a3)^2) !w:sqrt(z1+z2+z3) !d(k):=sqrt(z1+z2+z3) !abl(k):=diff(d(k),k) !k_0:vecget(solve(abl(k),k),0) !d(k_0) !! Will man diesen Term minimieren, so erhält man mit dem Taschenrechner für $$k$$ den Wert !!k_0!! und als Abstand somit !!d(k_0)!!=!!#d(k_0)#!!.
!! !startx:-2 !endex:4 !starty:-1 !endey:5 !! !ppp ratio:!!endex-startx!!,!!endey-starty!! xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1 yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1 pen:#ccccff,4 grid:0.5,0.5 pen:blue,10,0,0 function:d(k) pen:red,10,20,20 line:!!k_0!!,0,!!k_0!!,!!d(k_0)!! line:!!k_0!!,!!d(k_0)!!,0,!!d(k_0)!! !ppp

Lösung mit dem Orthogonalitätsverfahren:

Der allgemeine Punkt Pk(−2+k⋅1/1+k⋅1/2+k⋅0)P_k(-2+k\cdot1/1+k\cdot1/2+k\cdot0)P​k​​(−2+k⋅1/1+k⋅1/2+k⋅0) führt zum Vektor APk⃗=(k−2k+12)−(111)=(k−3k1) \vec{AP_k} =\begin{pmatrix}k-2 \\k+1 \\2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}k-3 \\k \\1 \end{pmatrix} ​AP​k​​​⃗​​=​⎝​⎛​​​k−2​k+1​2​​​⎠​⎞​​−​⎝​⎛​​​1​1​1​​​⎠​⎞​​=​⎝​⎛​​​k−3​k​1​​​⎠​⎞​​

Nun muss die Gleichung (k−3k1)⋅(110)=0 \begin{pmatrix}k-3 \\k \\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \end{pmatrix}=0 ​⎝​⎛​​​k−3​k​1​​​⎠​⎞​​⋅​⎝​⎛​​​1​1​0​​​⎠​⎞​​=0 gelöst werden.

Das Skalarprodukt liefert: 2⋅k−3=0 2 \cdot k-3=0 2⋅k−3=0

und diese Gleichung wird gelöst für k=32k=\frac{3}{2}k=​2​​3​​.

Eingesetzt in d(A;g)=d(A;Pk)=∣APk⃗∣d(A;g)=d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|d(A;g)=d(A;P​k​​)=∣​AP​k​​​⃗​​∣ erhält man d(A;g)=∣APk⃗∣=∣(−32321)∣=112 d(A;g)=|\vec{AP_k}| =\left|\begin{pmatrix}-\frac{3}{2} \\\frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}\right|=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} d(A;g)=∣​AP​k​​​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎜​⎜​⎛​​​−​2​​3​​​​2​​3​​​1​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=​√​2​​​​​√​11​​​​​ wobei 112=2.345207879911715\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}=2.345207879911715​√​2​​​​​√​11​​​​​=2.345207879911715.

*Lösung mit dem Orthogonalitätsverfahren:* Der allgemeine Punkt $$P_k(!!s1!!+k\cdot!!u1!!/!!s2!!+k\cdot!!u2!!/!!s3!!+k\cdot!!u3!!)$$ führt zum Vektor $$ \vec{AP_k} =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3)!! -!!vector(a1,a2,a3)!! =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k *u3) -vector(a1,a2,a3)!! $$ !! !v:vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3) -vector(a1,a2,a3) !! Nun muss die Gleichung $$ !!v!!\cdot !!vector(u1,u2,u3)!!=0 $$ gelöst werden. Das Skalarprodukt liefert: $$ !!dot(v,vector(u1,u2,u3))!!=0 $$ !! !f(k):=dot(v,vector(u1,u2,u3)) !k_0:vecget(solve(dot(v,vector(u1,u2,u3)),k), 0) !! und diese Gleichung wird gelöst für $$k=!!k_0!!$$. Eingesetzt in $$d(A;g)=d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|$$ erhält man $$ d(A;g)=|\vec{AP_k}| =\left|!!vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) -vector(a1,a2,a3)!!\right|=!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!! $$ wobei $$!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!!=!!#sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)#!!$$.

Lösung mit einer Hilfsebene:

H:1⋅x1+1⋅x2+0⋅x3=1⋅1+1⋅1+0⋅1=2H: 1\cdot x_1+1\cdot x_2+ 0\cdot x_3 = 1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1 = 2H:1⋅x​1​​+1⋅x​2​​+0⋅x​3​​=1⋅1+1⋅1+0⋅1=2

Schnitt von HHH mit ggg ergibt zusammengefasst 2⋅k−1=2, 2 \cdot k-1 = 2, 2⋅k−1=2,

so dass k=32k=\frac{3}{2}k=​2​​3​​.

Eingesetzt in ggg erhält man den Punkt P(−12/52/2)P(-\frac{1}{2}/\frac{5}{2}/2)P(−​2​​1​​/​2​​5​​/2).

Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣|\vec{PA}|∣​PA​⃗​​∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=∣(32−32−1)∣=112 d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=\left| \begin{pmatrix}\frac{3}{2} \\-\frac{3}{2} \\-1 \end{pmatrix} \right| =\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} d(A;g)=d(P;A)=∣​PA​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎜​⎜​⎛​​​​2​​3​​​−​2​​3​​​−1​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=​√​2​​​​​√​11​​​​​ Gerundet ist das 2.345207879911715 2.345207879911715 2.345207879911715.

*Lösung mit einer Hilfsebene:* $$H: !!u1!!\cdot x_1+!!u2!!\cdot x_2+ !!u3!!\cdot x_3 = !!u1!!\cdot !!a1!!+!!u2!!\cdot !!a2!!+!!u3!!\cdot !!a3!! = !!u1*a1+u2*a2+u3*a3!!$$ !! !de:u1*a1+u2*a2+u3*a3 !! Schnitt von $$H$$ mit $$g$$ ergibt zusammengefasst $$ !!u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3*(s3+k*u3)!! = !!de!!, $$ !! !k_0:vecget(solve(u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3(s3+k*u3)-de,k),0) !! so dass $$k=!!k_0!!$$. Eingesetzt in $$g$$ erhält man den Punkt $$P(!!s1+k_0*u1!!/!!s2+k_0*u2!!/!!s3+k_0*u3!!)$$. !! !vecp:vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) !! Nun bestimmt man noch $$|\vec{PA}|$$ und erhält dafür $$ d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=\left| !!vector(a1,a2,a3)-vecp!! \right| =!!sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)!! $$ Gerundet ist das !!#sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)#!!.

Aufgabe 2:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2/2/−1)A(2/2/-1)A(2/2/−1), B(2/4/5)B(2/4/5)B(2/4/5) und C(2/−2/2)C(2/-2/2)C(2/−2/2) festgelegt ist.

Wenn du gar nicht weißt, wie du anfangen sollst, dann gibt es hier einen Tipp.

Hier geht es zur Lösung

==== Aufgabe 2: !! !a1:2 !a2:2 !a3:-1 !b1:2 !b2:4 !b3:5 !c1:2 !c2:-2 !c3:2 !! Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte $$A(!!a1!!/!!a2!!/!!a3!!)$$, $$B(!!b1!!/!!b2!!/!!b3!!)$$ und $$C(!!c1!!/!!c2!!/!!c3!!)$$ festgelegt ist. Wenn du gar nicht weißt, wie du anfangen sollst, dann gibt es hier einen <<tags_hl,Tipp>>. <<tags_m,Hier geht es zur Lösung>>

Tipp:

Um den Flächeninhalt F eines Dreiecks zu berechnen, verwendet man die Formel F=12⋅g⋅h{F}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{g}\cdot{h}F=​2​​1​​⋅g⋅h, wobei ggg die Länge der Grundseite und hhh die Länge der Höhe ist, die auf der Grundseite senkrecht steht und durch den gegenüber liegenden Punkt verläuft.

Klar?

Tipp wieder ausblenden

==== *Tipp:* Um den Flächeninhalt F eines Dreiecks zu berechnen, verwendet man die Formel $$$F=1/2*g*h$$$, wobei $$g$$ die Länge der _Grundseite_ und $$h$$ die Länge der _Höhe_ ist, die auf der Grundseite senkrecht steht und durch den gegenüber liegenden Punkt verläuft. Klar? <<tags_h,Tipp wieder ausblenden>> ====

Lösung zu Aufgabe 2:

Strategie:

  1. Gerade gABg_{AB}g​AB​​ durch die Punkte AAA und BBB aufstellen

  2. h=d(gAB,C)h=d(g_{AB},C)h=d(g​AB​​,C) bestimmen

  3. F=12⋅∣AB⃗∣⋅h{F}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left|\vec{{{A}{B}}}\right|}\cdot{h}F=​2​​1​​⋅​∣​∣​∣​​​AB​⃗​​​∣​∣​∣​​⋅h berechnen

*Lösung zu Aufgabe 2:* Strategie: . Gerade $$g_{AB}$$ durch die Punkte $$A$$ und $$B$$ aufstellen . $$h=d(g_{AB},C)$$ bestimmen . $$$F=1/2*|vec{AB}|*h$$$ berechnen

gAB:x⃗=(22−1)+k⋅(026) g_{AB}: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\2 \\-1 \end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}0 \\2 \\6 \end{pmatrix} g​AB​​:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​2​2​−1​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​0​2​6​​​⎠​⎞​​

Bestimmt man den Abstand mit der Orthogonalitätsmethode, so erhält man:

!! !s1:a1 !s2:a2 !s3:a3 !u1:b1-a1 !u2:b2-a2 !u3:b3-a3 !a1:c1 !a2:c2 !a3:c3 !! $$ g_{AB}: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s3)!!+k\cdot!!vector(u1,u2,u3)!! $$ Bestimmt man den Abstand mit der _Orthogonalitätsmethode_, so erhält man:

Der allgemeine Punkt Pk(2+k⋅0/2+k⋅2/−1+k⋅6)P_k(2+k\cdot0/2+k\cdot2/-1+k\cdot6)P​k​​(2+k⋅0/2+k⋅2/−1+k⋅6) führt zum Vektor CPk⃗=(22⋅k+26⋅k−1)−(2−22)=(02⋅k+46⋅k−3) \vec{CP_k} =\begin{pmatrix}2 \\2 \cdot k+2 \\6 \cdot k-1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 \\-2 \\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\2 \cdot k+4 \\6 \cdot k-3 \end{pmatrix} ​CP​k​​​⃗​​=​⎝​⎛​​​2​2⋅k+2​6⋅k−1​​​⎠​⎞​​−​⎝​⎛​​​2​−2​2​​​⎠​⎞​​=​⎝​⎛​​​0​2⋅k+4​6⋅k−3​​​⎠​⎞​​

Nun muss die Gleichung (02⋅k+46⋅k−3)⋅(026)=0 \begin{pmatrix}0 \\2 \cdot k+4 \\6 \cdot k-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0 \\2 \\6 \end{pmatrix}=0 ​⎝​⎛​​​0​2⋅k+4​6⋅k−3​​​⎠​⎞​​⋅​⎝​⎛​​​0​2​6​​​⎠​⎞​​=0 gelöst werden.

Das Skalarprodukt liefert: 40⋅k−10=0 40 \cdot k-10=0 40⋅k−10=0

und diese Gleichung wird gelöst für k=14k=\frac{1}{4}k=​4​​1​​.

Eingesetzt in d(C;g)=d(C;Pk)=∣CPk⃗∣d(C;g)=d(C;P_k)=|\vec{CP_k}|d(C;g)=d(C;P​k​​)=∣​CP​k​​​⃗​​∣ erhält man d(C;g)=∣CPk⃗∣=∣(092−32)∣=3⋅52 d(C;g)=|\vec{CP_k}| =\left|\begin{pmatrix}0 \\\frac{9}{2} \\-\frac{3}{2} \end{pmatrix}\right|=\frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}} d(C;g)=∣​CP​k​​​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎜​⎜​⎛​​​0​​2​​9​​​−​2​​3​​​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=​√​2​​​​​3⋅√​5​​​​​ wobei 3⋅52=4.743416490252569\frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}}=4.743416490252569​√​2​​​​​3⋅√​5​​​​​=4.743416490252569.

Somit gilt

h=3⋅52=4.743416490252569 h=\frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}}=4.743416490252569 h=​√​2​​​​​3⋅√​5​​​​​=4.743416490252569

Der allgemeine Punkt $$P_k(!!s1!!+k\cdot!!u1!!/!!s2!!+k\cdot!!u2!!/!!s3!!+k\cdot!!u3!!)$$ führt zum Vektor $$ \vec{CP_k} =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3)!! -!!vector(a1,a2,a3)!! =!!vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k *u3) -vector(a1,a2,a3)!! $$ !! !v:vector(s1+k*u1,s2+k*u2,s3+k*u3) -vector(a1,a2,a3) !! Nun muss die Gleichung $$ !!v!!\cdot !!vector(u1,u2,u3)!!=0 $$ gelöst werden. Das Skalarprodukt liefert: $$ !!dot(v,vector(u1,u2,u3))!!=0 $$ !! !f(k):=dot(v,vector(u1,u2,u3)) !k_0:vecget(solve(dot(v,vector(u1,u2,u3)),k), 0) !! und diese Gleichung wird gelöst für $$k=!!k_0!!$$. Eingesetzt in $$d(C;g)=d(C;P_k)=|\vec{CP_k}|$$ erhält man $$ d(C;g)=|\vec{CP_k}| =\left|!!vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) -vector(a1,a2,a3)!!\right|=!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!! $$ wobei $$!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!!=!!#sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)#!!$$. Somit gilt !! !h:sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2) !! $$ h=!!sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)!!=!!#sqrt((s1+k_0*u1-a1)^2+(s2+k_0*u2-a2)^2+(s3+k_0*u3-a3)^2)#!! $$

Nun benötigen wir noch ∣AB⃗∣=∣(026)∣=2⋅10 |\vec{AB}|=\left|\begin{pmatrix}0 \\2 \\6 \end{pmatrix}\right|=2 \cdot \sqrt{10} ∣​AB​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎛​​​0​2​6​​​⎠​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=2⋅√​10​​​

Insgesamt ergibt sich so für den Flächeninhalt des Dreiecks: F=12⋅∣AB⃗∣⋅h=12⋅2⋅10⋅3⋅52=3⋅10⋅52 F=\frac12 \cdot |\vec{AB}| \cdot h=\frac12 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}} =\frac{3 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}} F=​2​​1​​⋅∣​AB​⃗​​∣⋅h=​2​​1​​⋅2⋅√​10​​​⋅​√​2​​​​​3⋅√​5​​​​​=​√​2​​​​​3⋅√​10​​​⋅√​5​​​​​

Nun benötigen wir noch $$ |\vec{AB}|=\left|!!vector(u1,u2,u3)!!\right|=!!sqrt(u1^2+u2^2+u3^2)!! $$ Insgesamt ergibt sich so für den Flächeninhalt des Dreiecks: $$ F=\frac12 \cdot |\vec{AB}| \cdot h=\frac12 \cdot !!sqrt(u1^2+u2^2+u3^2)!! \cdot !!h!! =!!1/2*sqrt(u1^2+u2^2+u3^2)*h!! $$

Aufgabe 3:

Der Mittelpunkt der Erde befinde sich bei O(0/0/0). Ihr Durchmesser beträgt 6378 km.

Vor kurzem wurde ein Komet beobachtet dessen Position zum Zeitpunkt k (k in Tagen seit Jahresbeginn) durch die Geradengleichung g:x⃗=(−20000000)+k⋅(20000200030) g: \vec{x}=\begin{pmatrix}-200000 \\0 \\0 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}20000 \\2000 \\30 \end{pmatrix} g:​x​⃗​​=​⎝​⎛​​​−200000​0​0​​​⎠​⎞​​+k⋅​⎝​⎛​​​20000​2000​30​​​⎠​⎞​​ beschrieben werden kann (alle Koordinaten in km).

  • Berechne die Geschwindigkeit des Kometen

  • Berechne, wann der Komet der Erde am nächsten kommt.

  • Berechne den Abstand des Kometen zur Erdoberfläche zu diesem Zeitpunkt.

Hier geht es zur Lösung

!! !a1:0 !a2:0 !a3:0 !u1:20000 !u2:2000 !u3:30 !s1:-200000 !s2:0 !s3:0 !! ==== Aufgabe 3: Der Mittelpunkt der Erde befinde sich bei O(0/0/0). Ihr Durchmesser beträgt 6378 km. Vor kurzem wurde ein Komet beobachtet dessen Position zum Zeitpunkt k (k in Tagen seit Jahresbeginn) durch die Geradengleichung $$ g: \vec{x}=!!vector(s1,s2,s2)!!+k\cdot !!vector(u1,u2,u3)!! $$ beschrieben werden kann (alle Koordinaten in km). * Berechne die Geschwindigkeit des Kometen * Berechne, wann der Komet der Erde am nächsten kommt. * Berechne den Abstand des Kometen zur Erdoberfläche zu diesem Zeitpunkt. <<tags_n, Hier geht es zur Lösung>>

Geschwindigkeit:

Das ist der Betrag des Richtungsvektors der Gerade. v=∣u⃗∣=∣(20000200030)∣=20099.77363056609 v=|\vec{u}|=\left|\begin{pmatrix}20000 \\2000 \\30 \end{pmatrix}\right|=20099.77363056609 v=∣​u​⃗​​∣=​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​​⎝​⎛​​​20000​2000​30​​​⎠​⎞​​​∣​∣​∣​∣​∣​∣​​=20099.77363056609 Die Einheit ist kmTag\frac{km}{Tag}​Tag​​km​​.

*Geschwindigkeit:* Das ist der Betrag des Richtungsvektors der Gerade. $$ v=|\vec{u}|=\left|!!vector(u1,u2,u3)!!\right|=!!#sqrt(u1^2+u2^2+u3^2)#!! $$ Die Einheit ist $$\frac{km}{Tag}$$.

Zeitpunkt des kürzesten Abstandes und Abstand:

Wir nutzen hierzu das Verfahren mit der Hilfsebene.

*Zeitpunkt des kürzesten Abstandes und Abstand:* Wir nutzen hierzu das Verfahren mit der Hilfsebene.

H:20000⋅x1+2000⋅x2+30⋅x3=20000⋅0+2000⋅0+30⋅0=0H: 20000\cdot x_1+2000\cdot x_2+ 30\cdot x_3 = 20000\cdot 0+2000\cdot 0+30\cdot 0 = 0H:20000⋅x​1​​+2000⋅x​2​​+30⋅x​3​​=20000⋅0+2000⋅0+30⋅0=0

Schnitt von HHH mit ggg ergibt zusammengefasst 404000900⋅k−4000000000=0, 404000900 \cdot k-4000000000 = 0, 404000900⋅k−4000000000=0,

so dass k=9.900968042397925k=9.900968042397925k=9.900968042397925.

Eingesetzt in ggg erhält man den Punkt P(−1980.639152041493/19801.936084795852/297.0290412719378)P(-1980.639152041493/19801.936084795852/297.0290412719378)P(−1980.639152041493/19801.936084795852/297.0290412719378).

Nun bestimmt man noch ∣PA⃗∣|\vec{PA}|∣​PA​⃗​​∣ und erhält dafür d(A;g)=d(P;A)=∣PA⃗∣=19902.960342830876 d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=19902.960342830876 d(A;g)=d(P;A)=∣​PA​⃗​​∣=19902.960342830876 Somit ist der Zeitpunkt des kürzesten Abstands zum Erdmittelpunkt 9.900968042397925 9.900968042397925 9.900968042397925 Tage nach Jahresbeginn und der Abstand zum Erdmittelpunkt beträgt dann 19902.960342830876 19902.960342830876 19902.960342830876 km, also 16713.960342830876 16713.960342830876 16713.960342830876 km von der Erdoberfläche.

$$H: !!u1!!\cdot x_1+!!u2!!\cdot x_2+ !!u3!!\cdot x_3 = !!u1!!\cdot !!a1!!+!!u2!!\cdot !!a2!!+!!u3!!\cdot !!a3!! = !!u1*a1+u2*a2+u3*a3!!$$ !! !de:u1*a1+u2*a2+u3*a3 !! Schnitt von $$H$$ mit $$g$$ ergibt zusammengefasst $$ !!u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3*(s3+k*u3)!! = !!de!!, $$ !! !k_0:vecget(solve(u1*(s1+k*u1)+u2*(s2+k*u2)+u3(s3+k*u3)-de,k),0) !! so dass $$k=!!#k_0#!!$$. Eingesetzt in $$g$$ erhält man den Punkt $$P(!!#s1+k_0*u1#!!/!!#s2+k_0*u2#!!/!!#s3+k_0*u3#!!)$$. !! !vecp:vector(s1+k_0*u1,s2+k_0*u2,s3+k_0*u3) !! Nun bestimmt man noch $$|\vec{PA}|$$ und erhält dafür $$ d(A;g)=d(P;A)=|\vec{PA}|=!!#sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)#!! $$ Somit ist der Zeitpunkt des kürzesten Abstands zum Erdmittelpunkt !!#k_0#!! Tage nach Jahresbeginn und der Abstand zum Erdmittelpunkt beträgt dann !!#sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)#!! km, also !!#sqrt((a1-vecget(vecp,0))^2+(a2-vecget(vecp,1))^2+(a3-vecget(vecp,2))^2)-6378/2#!! km von der Erdoberfläche.

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