Abstand Punkt-Gerade

Problem:

Gegeben seien eine Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}s_1 \\s_2 \\s_3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}u_1 \\u_2 \\u_3 \end{pmatrix} \text{ mit } k \in \mathbb{R}$ und ein Punkt $A(a_1/a_2/a_3)$ , der außerhalb der Gerade liegt.

Bestimme den Abstand des Punktes von der Geraden.

Extremwertmethode

Die Grundidee besteht darin, dass man einen allgemeinen Punkt $P_k$ auf der Geraden entlanglaufen lässt. Man stellt einen Ausdruck für den Abstand des Punktes $P_k$ zu $A$ auf und sucht für diesen Ausdruck das Minimum.

Die Grafik zeigt die Idee (mehrmals klicken):

Orthogonalitätsmethode

Wieder arbeitet man mit einem allgemeinen Punkt $P_k$ , nur nutzt man diesmal die Tatsache aus, dass im Fall der kürzesten Verbindung zwischen A und $P_k$ der Vektor $\vec{AP_k}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von g steht:

Diese Aussage ist gleichbedeutend mit $\vec{{{A}{P}_{{k}}}}\cdot\vec{{{u}}}={0}$ Löst man diese Gleichung nach $k$ auf und bestimmt damit $d(A;P_k)=|\vec{AP_k}|$ , so entspricht dies auch dem Abstand zwischen $A$ und $g$ .

Abstand Punkt-Gerade mit einer Hilfsebene

Eine weitere Methode besteht darin, dass man eine Hilfsebene $H$ verwendet, die senkrecht auf $g$ steht und durch $A$ verläuft.

Da der Normalenvektor der Ebene dem Richtungsvektor der Gerade entspricht, kann man $H$ schnell aufstellen.

Schneidet man die Hilfsebene mit der Gerade, so erhält man einen Punkt $P$ , der von allen Punkten auf $g$ zu $A$ den kleinsten Abstand hat, da dort ein rechter Winkel vorliegt: