Den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden stellt die Länge der Verbindungsstrecke dar, die auf beiden Geraden senkrecht steht.

Von dieser Strecke ist dann noch die Länge zu bestimmen.

Wie kann man sich aber vorstellen, dass zwei windschiefe Geraden immer so zueinander stehen, dass es eine Verbindungsstrecke gibt, die auf beiden Geraden senkrecht steht?

Lege dazu nun einen Stift auf den Tisch. Dieser Stift steht für die Gerade $g_1$. Nimm nun einen zweiten Stift und halte diesen irgendwie frei schwebend über den Tisch. Man kann den zweiten Stift nun so um die Gerade $g_1$, also den ersten Stift drehen ($g_1$ ist hier die Drehachse), bis der zweite Stift parallel zur Tischplatte steht.

Nun erkennt man, dass die beiden Geraden tatsächlich eine Verbindungsstrecke haben, die auf beiden senkrecht steht:

Somit kann man für die Bestimmung des Abstandes der Geraden $g_1$ und $g_2$ folgendermaßen vorgehen:

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen $g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ mit $k$ und $l$ aus den reellen Zahlen.

Lösung:

Nun stellen wir die allgemeinen Punkte auf: $A_k(2+k\cdot 1/1+k\cdot -1/1+k\cdot 2)$ und $B_l(1+l\cdot 2/-2+l\cdot -2/-2+l\cdot 2)$

Für die weiteren Berechnungen benötigen wir den Verbindungsvektor $\vec{A_kB_l}=\vec{OB_l}-\vec{OA_k}$: $\begin{pmatrix}2 \cdot l+1\\-2 \cdot l-2\\2 \cdot l-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k+2\\-k+1\\2 \cdot k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}$

Nun stellen wir die beiden Gleichungen auf: $\vec{A_kB_l} \cdot \vec{u}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=0$ ergibt $-6 \cdot k+8 \cdot l-4=0$ Analog dazu erhält man als zweite Gleichung über $\vec{A_kB_l} \cdot \vec{v}=0$ $-8 \cdot k+12 \cdot l-2=0$

Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man

$k=-4$ und $l =-\frac{5}{2}$ Eingesetzt in den allgemeinen Punkt ergibt das

$\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}$ Nun müssen wir noch die Länge dieses Vektors berechnen, um den Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander zu bestimmen: $d(g_1;g_2)=|\vec{AB}|=2 \cdot \sqrt{2}$

Im letzten Abschnitt wurde mit den Stiften und der Tischplatte gezeigt, dass man die Situation stets so betrachten kann, dass der eine Stift auf der Tischplatte liegt, der andere parallel dazu steht.

Insofern ist der Abstand zwischen den beiden Stiften gleich groß, wie der Abstand von der Tischplatte zum schwebenden Stift.

Wenn man eine Ebenengleichung für die Tischplatte aufstellt, kann man über die HNF einen Punkt, der auf der "schwebenden Gerade" liegt, einsetzen und erhält darüber den Abstand zwischen den windschiefen Geraden.

Die Gleichung der Ebene der Tischplatte ist in Parameterform schnell aufgestellt: die Spannvektoren sind die Richtungsvektoren von $g_1$ und $g_2$, also $\vec{u}$ und $\vec{v}$.

Daraus kann man über das Vektorprodukt den Normalenvektor bestimmen:

$\vec{n}=\vec{u} \times \vec{v}$ Ebenengleichung in der Koordinatenform aufstellen und schon kann man die HNF anwenden (das ${d}$ aus der HNF entspricht $\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}$) : ${d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}-\vec{{n}}\cdot\vec{{p}}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}$ Man kann das auch noch ein wenig vereinfachen zu ${d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|}$ da $\frac{\vec{{n}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\vec{{n}}_{{0}}$ ist.

Somit gilt:

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen $g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ mit $k$ und $l$ aus den reellen Zahlen.

Lösung:

$\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$

$\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$

$\vec{n_0}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$

Formel anwenden: ${d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|}$ ist hier $\left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\right)\right| ,$ also bleibt: $\left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\right|=\left|\frac{4}{\sqrt{2}}\right|=\frac{4}{\sqrt{2}}$