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Abstand windschiefer Geraden

Gegeben seien zwei Gerade g1g_1 und g2g_2, die zueinander windschief stehen, sich also nicht schneiden aber auch nicht parallel zueinander sind.

Wir werden nun betrachten, wie man den Abstand dieser beiden Geraden zueinander bestimmen kann.

Orthogonalitätsmethode

Den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden stellt die Länge der Verbindungsstrecke dar, die auf beiden Geraden senkrecht steht.

Von dieser Strecke ist dann noch die Länge zu bestimmen.

Wie kann man sich aber vorstellen, dass zwei windschiefe Geraden immer so zueinander stehen, dass es eine Verbindungsstrecke gibt, die auf beiden Geraden senkrecht steht?

Lege dazu nun einen Stift auf den Tisch. Dieser Stift steht für die Gerade g1g_1. Nimm nun einen zweiten Stift und halte diesen irgendwie frei schwebend über den Tisch. Man kann den zweiten Stift nun so um die Gerade g1g_1, also den ersten Stift drehen (g1g_1 ist hier die Drehachse), bis der zweite Stift parallel zur Tischplatte steht.

Nun erkennt man, dass die beiden Geraden tatsächlich eine Verbindungsstrecke haben, die auf beiden senkrecht steht:

Somit kann man für die Bestimmung des Abstandes der Geraden g1g_1 und g2g_2 folgendermaßen vorgehen:

Lösungsverfahren:

Stelle zwei allgemeine Punkt AkA_k auf g1g_1 und BlB_l auf g2g_2 auf.

Wenn u⃗\vec{u} der Richtungsvektor von g1g_1 ist und v⃗\vec{v} der Richtungsvektor von g2g_2, dann sind die folgenden beiden Gleichungen zu lösen: AkBl⃗⋅u⃗=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{u}=0 und AkBl⃗⋅v⃗=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{v}=0 Das ergibt somit zwei Gleichungen für zwei Variablen, so dass man kk und ll erhält, wodurch man die Punkte AA und BB aus der obigen Skizze bestimmen kann.

Schließlich gilt: d(g1;g2)=∣AB⃗∣ d(g_1;g_2)=|\vec{AB}|

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g1:x⃗=(211)+k⋅(1−12) g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} und g2:x⃗=(1−2−2)+l⋅(2−22) g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} mit kk und ll aus den reellen Zahlen.

Lösung:

Nun stellen wir die allgemeinen Punkte auf: Ak(2+k⋅1/1+k⋅−1/1+k⋅2) A_k(2+k\cdot 1/1+k\cdot -1/1+k\cdot 2) und Bl(1+l⋅2/−2+l⋅−2/−2+l⋅2) B_l(1+l\cdot 2/-2+l\cdot -2/-2+l\cdot 2)

Für die weiteren Berechnungen benötigen wir den Verbindungsvektor AkBl⃗=OBl⃗−OAk⃗\vec{A_kB_l}=\vec{OB_l}-\vec{OA_k}: (2⋅l+1−2⋅l−22⋅l−2)−(k+2−k+12⋅k+1)=(−k+2⋅l−1−2⋅l+k−3−2⋅k+2⋅l−3) \begin{pmatrix}2 \cdot l+1\\-2 \cdot l-2\\2 \cdot l-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k+2\\-k+1\\2 \cdot k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}

Nun stellen wir die beiden Gleichungen auf: AkBl⃗⋅u⃗=(−k+2⋅l−1−2⋅l+k−3−2⋅k+2⋅l−3)⋅(1−12)=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{u}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=0 ergibt −6⋅k+8⋅l−4=0 -6 \cdot k+8 \cdot l-4=0 Analog dazu erhält man als zweite Gleichung über AkBl⃗⋅v⃗=0\vec{A_kB_l} \cdot \vec{v}=0 −8⋅k+12⋅l−2=0 -8 \cdot k+12 \cdot l-2=0

Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man

k=−4 k=-4 und l=−52 l =-\frac{5}{2} Eingesetzt in den allgemeinen Punkt ergibt das

AB⃗=(−2−20) \vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix} Nun müssen wir noch die Länge dieses Vektors berechnen, um den Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander zu bestimmen: d(g1;g2)=∣AB⃗∣=2⋅2 d(g_1;g_2)=|\vec{AB}|=2 \cdot \sqrt{2}

Abstand windschiefer Geraden mit der HNF

Im letzten Abschnitt wurde mit den Stiften und der Tischplatte gezeigt, dass man die Situation stets so betrachten kann, dass der eine Stift auf der Tischplatte liegt, der andere parallel dazu steht.

Insofern ist der Abstand zwischen den beiden Stiften gleich groß, wie der Abstand von der Tischplatte zum schwebenden Stift.

Wenn man eine Ebenengleichung für die Tischplatte aufstellt, kann man über die HNF einen Punkt, der auf der "schwebenden Gerade" liegt, einsetzen und erhält darüber den Abstand zwischen den windschiefen Geraden.

Die Gleichung der Ebene der Tischplatte ist in Parameterform schnell aufgestellt: die Spannvektoren sind die Richtungsvektoren von g1g_1 und g2g_2, also u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}.

Daraus kann man über das Vektorprodukt den Normalenvektor bestimmen:

n⃗=u⃗×v⃗ \vec{n}=\vec{u} \times \vec{v} Ebenengleichung in der Koordinatenform aufstellen und schon kann man die HNF anwenden (das d{d} aus der HNF entspricht n⃗⋅q⃗\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}) : d(g1;g2)=∣n⃗⋅q⃗−n⃗⋅p⃗∣∣n⃗∣=∣n⃗⋅(q⃗−p⃗)∣∣n⃗∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}-\vec{{n}}\cdot\vec{{p}}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}} Man kann das auch noch ein wenig vereinfachen zu d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} da n⃗∣n⃗∣=n⃗0\frac{\vec{{n}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\vec{{n}}_{{0}} ist.

Somit gilt:

Abstand zweier windschiefer Geraden mit Hilfe der HNF:

d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} wobei

  • p⃗\vec{{p}} und q⃗\vec{{q}} Ortsvektoren von Punkten PP und QQ auf den Geraden g1g_1 und g2g_2 sind (also z. B. die Stützvektoren).

  • n⃗=u⃗×v⃗\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} mit u⃗\vec{{u}} und v⃗\vec{{v}} als Richtungsvektoren von g1g_1 und g2g_2 und n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{{n}}_{{0}}=\frac{\vec{{n}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g1:x⃗=(211)+k⋅(1−12) g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} und g2:x⃗=(1−2−2)+l⋅(2−22) g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} mit kk und ll aus den reellen Zahlen.

Lösung:

n⃗=(1−12)×(2−22) \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}

n⃗=(220) \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}

n0⃗=12⋅2⋅(220) \vec{n_0}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}

Formel anwenden: d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} ist hier ∣(12120)⋅((211)−(1−2−2))∣, \left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\right)\right| , also bleibt: ∣(12120)⋅(133)∣=∣42∣=42 \left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\right|=\left|\frac{4}{\sqrt{2}}\right|=\frac{4}{\sqrt{2}}