Abstand windschiefer Geraden

Gegeben seien zwei Gerade g1g_1 und g2g_2, die zueinander windschief stehen, sich also nicht schneiden aber auch nicht parallel zueinander sind.

Wir werden nun betrachten, wie man den Abstand dieser beiden Geraden zueinander bestimmen kann.

Orthogonalitätsmethode

Lösungsverfahren:

Stelle zwei allgemeine Punkt AkA_k auf g1g_1 und BlB_l auf g2g_2 auf.

Wenn u⃗\vec{u} der Richtungsvektor von g1g_1 ist und v⃗\vec{v} der Richtungsvektor von g2g_2, dann sind die folgenden beiden Gleichungen zu lösen: AkBl⃗⋅u⃗=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{u}=0 und AkBl⃗⋅v⃗=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{v}=0 Das ergibt somit zwei Gleichungen für zwei Variablen, so dass man kk und ll erhält, wodurch man die Punkte AA und BB aus der obigen Skizze bestimmen kann.

Schließlich gilt: d(g1;g2)=∣AB⃗∣ d(g_1;g_2)=|\vec{AB}|

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g1:x⃗=(211)+k⋅(1−12) g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} und g2:x⃗=(1−2−2)+l⋅(2−22) g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} mit kk und ll aus den reellen Zahlen.

Lösung:

Nun stellen wir die allgemeinen Punkte auf: Ak(2+k⋅1/1+k⋅−1/1+k⋅2) A_k(2+k\cdot 1/1+k\cdot -1/1+k\cdot 2) und Bl(1+l⋅2/−2+l⋅−2/−2+l⋅2) B_l(1+l\cdot 2/-2+l\cdot -2/-2+l\cdot 2)

Für die weiteren Berechnungen benötigen wir den Verbindungsvektor AkBl⃗=OBl⃗−OAk⃗\vec{A_kB_l}=\vec{OB_l}-\vec{OA_k}: (2⋅l+1−2⋅l−22⋅l−2)−(k+2−k+12⋅k+1)=(−k+2⋅l−1−2⋅l+k−3−2⋅k+2⋅l−3) \begin{pmatrix}2 \cdot l+1\\-2 \cdot l-2\\2 \cdot l-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k+2\\-k+1\\2 \cdot k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}

Nun stellen wir die beiden Gleichungen auf: AkBl⃗⋅u⃗=(−k+2⋅l−1−2⋅l+k−3−2⋅k+2⋅l−3)⋅(1−12)=0 \vec{A_kB_l} \cdot \vec{u}=\begin{pmatrix}-k+2 \cdot l-1\\-2 \cdot l+k-3\\-2 \cdot k+2 \cdot l-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=0 ergibt −6⋅k+8⋅l−4=0 -6 \cdot k+8 \cdot l-4=0 Analog dazu erhält man als zweite Gleichung über AkBl⃗⋅v⃗=0\vec{A_kB_l} \cdot \vec{v}=0 −8⋅k+12⋅l−2=0 -8 \cdot k+12 \cdot l-2=0

Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man

k=−4 k=-4 und l=−52 l =-\frac{5}{2} Eingesetzt in den allgemeinen Punkt ergibt das

AB⃗=(−2−20) \vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix} Nun müssen wir noch die Länge dieses Vektors berechnen, um den Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander zu bestimmen: d(g1;g2)=∣AB⃗∣=2⋅2 d(g_1;g_2)=|\vec{AB}|=2 \cdot \sqrt{2}

Abstand windschiefer Geraden mit der HNF

n⃗=u⃗×v⃗ \vec{n}=\vec{u} \times \vec{v} Ebenengleichung in der Koordinatenform aufstellen und schon kann man die HNF anwenden (das d{d} aus der HNF entspricht n⃗⋅q⃗\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}) : d(g1;g2)=∣n⃗⋅q⃗−n⃗⋅p⃗∣∣n⃗∣=∣n⃗⋅(q⃗−p⃗)∣∣n⃗∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot\vec{{q}}-\vec{{n}}\cdot\vec{{p}}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\frac{{{\left|\vec{{n}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}} Man kann das auch noch ein wenig vereinfachen zu d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} da n⃗∣n⃗∣=n⃗0\frac{\vec{{n}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}=\vec{{n}}_{{0}} ist.

Abstand zweier windschiefer Geraden mit Hilfe der HNF:

d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} wobei

  • p⃗\vec{{p}} und q⃗\vec{{q}} Ortsvektoren von Punkten PP und QQ auf den Geraden g1g_1 und g2g_2 sind (also z. B. die Stützvektoren).

  • n⃗=u⃗×v⃗\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} mit u⃗\vec{{u}} und v⃗\vec{{v}} als Richtungsvektoren von g1g_1 und g2g_2 und n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{{n}}_{{0}}=\frac{\vec{{n}}}{{{\left|\vec{{n}}\right|}}}

Beispiel:

Bestimme den Abstand zwischen g1:x⃗=(211)+k⋅(1−12) g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} und g2:x⃗=(1−2−2)+l⋅(2−22) g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}+l\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} mit kk und ll aus den reellen Zahlen.

Lösung:

n⃗=(1−12)×(2−22) \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}

n⃗=(220) \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}

n0⃗=12⋅2⋅(220) \vec{n_0}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}

Formel anwenden: d(g1;g2)=∣n⃗0⋅(q⃗−p⃗)∣{d}{\left({{g}_{{1}};}{g}_{{2}}\right)}={\left|\vec{{n}}_{{0}}\cdot{\left(\vec{{q}}-\vec{{p}}\right)}\right|} ist hier ∣(12120)⋅((211)−(1−2−2))∣, \left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\right)\right| , also bleibt: ∣(12120)⋅(133)∣=∣42∣=42 \left|\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\right|=\left|\frac{4}{\sqrt{2}}\right|=\frac{4}{\sqrt{2}}