Winkel zwischen zwei Vektoren

== Winkel zwischen zwei Vektoren

Bildet man aus zwei Vektoren a⃗\vec{{a}}​a​⃗​​ und b⃗\vec{{b}}​b​⃗​​ das Skalarprodukt, so ergibt sich mit den in der Skizze sichtbaren Bezeichnungen:

Bildet man aus zwei Vektoren $$$vec a$$$ und $$$ vec b$$$ das Skalarprodukt, so ergibt sich mit den in der Skizze sichtbaren Bezeichnungen:

a⃗⋅b⃗=(AB⃗+BC⃗)⋅b⃗=AB⃗⋅b⃗+BC⃗⋅b⃗\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}={\left(\vec{{{A}{B}}}+\vec{{{B}{C}}}\right)}\cdot\vec{{b}}=\vec{{{A}{B}}}\cdot\vec{{b}}+\vec{{{B}{C}}}\cdot\vec{{b}}​a​⃗​​⋅​b​⃗​​=(​AB​⃗​​+​BC​⃗​​)⋅​b​⃗​​=​AB​⃗​​⋅​b​⃗​​+​BC​⃗​​⋅​b​⃗​​ Da BC⃗⊥b⃗\vec{{{B}{C}}}\bot\vec{{b}}​BC​⃗​​⊥​b​⃗​​, gilt, dass BC⃗⋅b⃗=0\vec{{{B}{C}}}\cdot\vec{{b}}={0}​BC​⃗​​⋅​b​⃗​​=0. Somit verbleibt: a⃗⋅b⃗=AB⃗⋅b⃗\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\vec{{{A}{B}}}\cdot\vec{{b}}​a​⃗​​⋅​b​⃗​​=​AB​⃗​​⋅​b​⃗​​

$$$ vec a * vec b= (vec{AB}+vec {BC})* vec b=vec{AB}*vec b+vec {BC}* vec b $$$ Da $$$vec {BC} _|_ vec b $$$, gilt, dass $$$vec{BC}*vec b=0$$$. Somit verbleibt: $$$ vec a * vec b= vec{AB}*vec b $$$

Aus der obigen Zeichnung ersieht man, dass der Vektor AB⃗\vec{{{A}{B}}}​AB​⃗​​ in die gleiche Richtung zeigt, wie b⃗\vec{{b}}​b​⃗​​, allerdings von diesem nur einen Bruchteil der Länge hat, so dass gilt:

Aus der obigen Zeichnung ersieht man, dass der Vektor $$$vec{AB}$$$ in die gleiche Richtung zeigt, wie $$$vec b$$$, allerdings von diesem nur einen Bruchteil der Länge hat, so dass gilt:

AB⃗=AB‾∣b⃗∣⋅b⃗\vec{{{A}{B}}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot\vec{{b}}​AB​⃗​​=​​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​​​​AB​​​​​⋅​b​⃗​​

$$$ vec{AB}={bar{AB}}/{|vec b|} * vec b $$$

Setzt man dies in unsere Gleichung ein, so erhält man a⃗⋅b⃗=AB‾∣b⃗∣⋅b⃗⋅b⃗=AB‾∣b⃗∣⋅∣b⃗∣2=AB‾⋅∣b⃗∣\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot\vec{{b}}\cdot\vec{{b}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}^{{2}}=\overline{{{A}{B}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}​a​⃗​​⋅​b​⃗​​=​​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​​​​AB​​​​​⋅​b​⃗​​⋅​b​⃗​​=​​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​​​​AB​​​​​⋅​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​​2​​=​AB​​​⋅​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​ Es gilt cos(α)=AB‾AC‾=AB‾∣a⃗∣,{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{\overline{{{A}{B}}}}{\overline{{{A}{C}}}}=\frac{\overline{{{A}{B}}}}{{\left|\vec{{a}}\right|}},cos(α)=​​AC​​​​​​AB​​​​​=​∣​a​⃗​​∣​​​AB​​​​​, also ist AB‾=∣a⃗∣⋅cos(α)\overline{{{A}{B}}}={\left|\vec{{a}}\right|}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}​AB​​​=∣​a​⃗​​∣⋅cos(α)

Setzt man dies in unsere Gleichung ein, so erhält man $$$ vec a * vec b ={bar{AB}}/{|vec b|} * vec b * vec b = {bar{AB}}/{|vec b|} * |vec b|^2 = bar{AB}*|vec b| $$$ Es gilt $$$cos(alpha)=bar{AB}/bar{AC}=bar{AB}/|vec a|, $$$ also ist $$$ bar{AB}=|vec a|*cos(alpha) $$$

Wieder eingesetzt in unsere Gleichung, ergibt sich damit a⃗⋅b⃗=AB‾⋅∣b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\overline{{{A}{B}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}={\left|\vec{{a}}\right|}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}​a​⃗​​⋅​b​⃗​​=​AB​​​⋅​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​=∣​a​⃗​​∣⋅​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​⋅cos(α)

Wieder eingesetzt in unsere Gleichung, ergibt sich damit $$$ vec a * vec b = bar{AB}*|vec b|= |vec a|*|vec b|*cos(alpha) $$$

oder umgeformt nach cos(α){\cos{{\left(\alpha\right)}}}cos(α): cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{{\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}}}{{{\left|\vec{{a}}\right|}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}}}cos(α)=​∣​a​⃗​​∣⋅​∣​∣​∣​​​b​⃗​​​∣​∣​∣​​​​​a​⃗​​⋅​b​⃗​​​​

oder umgeformt nach $$$cos(alpha)$$$: $$$ cos(alpha)={vec a * vec b}/{|vec a|*|vec b|} $$$

Somit sind wir in der Lage, den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel einfach zu bestimmen:

Somit sind wir in der Lage, den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel einfach zu bestimmen:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Für den von zwei Vektoren a⃗\vec{{a}}​a​⃗​​ und b⃗\vec{{b}}​b​⃗​​ eingeschlossenen Winkel α\alphaα gilt: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} cos(α)=​∣​a​⃗​​∣⋅∣​b​⃗​​∣​​​a​⃗​​⋅​b​⃗​​​​

==== *Winkel zwischen zwei Vektoren* Für den von zwei Vektoren $$$vec a$$$ und $$$vec b$$$ eingeschlossenen Winkel $$$alpha$$$ gilt: $$ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} $$ ====

Der Kosinus hat einen Wertebereich von -1 bis 1.

Diese Werte kann man den Winkeln im Intervall [0°;180°) zuordnen.
[NOTE] ==== Der Kosinus hat einen Wertebereich von -1 bis 1. Diese Werte kann man den Winkeln im Intervall [0°;180°) zuordnen. ====

Beispiel:

Bestimme den Winkel zwischen a⃗=(123)\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}​a​⃗​​=​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​ und b⃗=(214)\vec{b}=\begin{pmatrix}2 \\1 \\4 \end{pmatrix}​b​⃗​​=​⎝​⎛​​​2​1​4​​​⎠​⎞​​.

*Beispiel:* !! !a1:1 !a2:2 !a3:3 !b1:2 !b2:1 !b3:4 !! Bestimme den Winkel zwischen $$\vec{a}=!!vector(a1,a2,a3)!!$$ und $$\vec{b}=!!vector(b1,b2,b3)!!$$.

Lösung: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} cos(α)=​∣​a​⃗​​∣⋅∣​b​⃗​​∣​​​a​⃗​​⋅​b​⃗​​​​ Setzt man die Vektoren ein, so erhält man: (123)⋅(214)12+22+32⋅22+12+42=1614⋅21 \frac{\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\1 \\4 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+ 1^2+ 4^2}}=\frac{16}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} ​√​1​2​​+2​2​​+3​2​​​​​⋅√​2​2​​+1​2​​+4​2​​​​​​​​⎝​⎛​​​1​2​3​​​⎠​⎞​​⋅​⎝​⎛​​​2​1​4​​​⎠​⎞​​​​=​√​14​​​⋅√​21​​​​​16​​ Als Näherungswert erhält man dafür cos(α)=0.9331389496316869\cos(\alpha)=0.9331389496316869cos(α)=0.9331389496316869. Somit ist der Winkel in Grad etwa α=arccos(0.9331389496316869)=21.07047471684812° \alpha= \arccos (0.9331389496316869)=21.07047471684812\degree α=arccos(0.9331389496316869)=21.07047471684812°

*Lösung:* $$ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} $$ Setzt man die Vektoren ein, so erhält man: $$ \frac{!!vector(a1,a2,a3)!!\cdot!!vector(b1,b2,b3)!!}{\sqrt{!!a1!!^2+!!a2!!^2+!!a3!!^2}\cdot \sqrt{!!b1!!^2+ !!b2!!^2+ !!b3!!^2}}=\frac{!!dot(vector(a1,a2,a3),vector(b1,b2,b3))!!}{!!sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)*sqrt(b1^2+b2^2+b3^2)!!} $$ Als Näherungswert erhält man dafür $$\cos(\alpha)=!!#dot(vector(a1,a2,a3),vector(b1,b2,b3))/(sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)*sqrt(b1^2+b2^2+b3^2))#!!$$. Somit ist der Winkel in Grad etwa $$ \alpha= \arccos (!!#dot(vector(a1,a2,a3),vector(b1,b2,b3))/(sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)*sqrt(b1^2+b2^2+b3^2))#!!)=!!#acos(dot(vector(a1,a2,a3),vector(b1,b2,b3))/(sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)*sqrt(b1^2+b2^2+b3^2)))/2/3.141592*360#!!\degree $$

Winkel zwischen zwei Geraden

== Winkel zwischen zwei Geraden

Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, kann man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bestimmen.

Aber Vorsicht:

da wir als Winkel zwischen zwei Vektoren Werte von 0° bis 180° erhalten, würde dieser Wertebereich bei ansonsten identischer Formel auch für den Winkel zwischen Geraden gelten.

Dort sind allerdings nur Winkel zwischen 0° und 90° sinnvoll!
Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, kann man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bestimmen. [WARNING] ==== Aber Vorsicht: da wir als Winkel zwischen zwei Vektoren Werte von 0° bis 180° erhalten, würde dieser Wertebereich bei ansonsten identischer Formel auch für den Winkel zwischen Geraden gelten. Dort sind allerdings nur Winkel zwischen 0° und 90° sinnvoll! ====

Sobald man den Zähler mit Betragszeichen versieht, sind nur noch Winkel zwischen 0° und 90° möglich. Somit kann man also für den Winkel zwischen zwei Geraden festlegen:

Sobald man den Zähler mit Betragszeichen versieht, sind nur noch Winkel zwischen 0° und 90° möglich. Somit kann man also für den Winkel zwischen zwei Geraden festlegen:

Winkel zwischen zwei Geraden

Für den Winkel α\alphaα zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren u⃗\vec{{u}}​u​⃗​​ und v⃗\vec{{v}}​v​⃗​​ gilt: cos(α)=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} cos(α)=​∣​u​⃗​​∣⋅∣​v​⃗​​∣​​∣​u​⃗​​⋅​v​⃗​​∣​​

==== *Winkel zwischen zwei Geraden* Für den Winkel $$\alpha$$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $$$vec u$$$ und $$$vec v$$$ gilt: $$ cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} $$ ====

Winkel zwischen zwei Ebenen

== Winkel zwischen zwei Ebenen

Betrachtet man zwei sich schneidende Ebenen von der Seite, so ist der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren:

Betrachtet man zwei sich schneidende Ebenen von der Seite, so ist der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren:

Winkel zwischen zwei Ebenen

Für den Winkel α\alphaα zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n⃗1\vec{{n}}_{{1}}​n​⃗​​​1​​ und n⃗2\vec{{n}}_{{2}}​n​⃗​​​2​​ gilt: cos(α)=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} cos(α)=​∣​n​1​​​⃗​​∣⋅∣​n​2​​​⃗​​∣​​∣​n​1​​​⃗​​⋅​n​2​​​⃗​​∣​​

==== *Winkel zwischen zwei Ebenen* Für den Winkel $$\alpha$$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $$$ vec n_1$$$ und $$$vec n_2$$$ gilt: $$ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} $$ ====

Winkel zwischen Ebene und Gerade

== Winkel zwischen Ebene und Gerade

Analog zu den obigen Fällen kann man den Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade bestimmen.

Bestimmt man jedoch den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Gerade, so ist das nicht der gesuchte Winkel:

Analog zu den obigen Fällen kann man den Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade bestimmen. Bestimmt man jedoch den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Gerade, so ist das nicht der gesuchte Winkel:

Statt α\alphaα sucht man den Winkel β=90°−α\beta=90\degree -\alphaβ=90°−α.

cos(α)=∣nE⃗⋅u⃗∣∣nE⃗∣⋅∣u⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_E}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n_E}|\cdot|\vec{u}|} cos(α)=​∣​n​E​​​⃗​​∣⋅∣​u​⃗​​∣​​∣​n​E​​​⃗​​⋅​u​⃗​​∣​​

Mit einem kleinen Schaubild kann man sich überlegen, dass für Winkel zwischen 0° und 90° gilt: cos(α)=cos(90°−β)=sin(β) \cos(\alpha)=\cos(90\degree-\beta)=\sin(\beta) cos(α)=cos(90°−β)=sin(β).

Statt $$$alpha$$$ sucht man den Winkel $$\beta=90\degree -\alpha$$. $$ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_E}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n_E}|\cdot|\vec{u}|} $$ Mit einem kleinen Schaubild kann man sich überlegen, dass für Winkel zwischen 0° und 90° gilt: $$ \cos(\alpha)=\cos(90\degree-\beta)=\sin(\beta) $$.

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Für den Winkel α\alphaα zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor n⃗\vec{n}​n​⃗​​ und einer Gerade mit dem Richtungsvektor u⃗\vec{{u}}​u​⃗​​ gilt: sin(α)=∣n⃗⋅u⃗∣∣n⃗∣⋅∣u⃗∣ sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|} sin(α)=​∣​n​⃗​​∣⋅∣​u​⃗​​∣​​∣​n​⃗​​⋅​u​⃗​​∣​​

==== *Winkel zwischen Ebene und Gerade* Für den Winkel $$\alpha$$ zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor $$\vec{n}$$ und einer Gerade mit dem Richtungsvektor $$$vec u$$$ gilt: $$ sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|} $$ ====

Beachte, dass in der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade tatsächlich ein Sinus und kein Kosinus steht.
[WARNING] ==== Beachte, dass in der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade tatsächlich ein *Sinus* und *kein Kosinus* steht. ====