Winkel zwischen zwei Vektoren

a⃗⋅b⃗=(AB⃗+BC⃗)⋅b⃗=AB⃗⋅b⃗+BC⃗⋅b⃗\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}={\left(\vec{{{A}{B}}}+\vec{{{B}{C}}}\right)}\cdot\vec{{b}}=\vec{{{A}{B}}}\cdot\vec{{b}}+\vec{{{B}{C}}}\cdot\vec{{b}} Da BC⃗⊥b⃗\vec{{{B}{C}}}\bot\vec{{b}}, gilt, dass BC⃗⋅b⃗=0\vec{{{B}{C}}}\cdot\vec{{b}}={0}. Somit verbleibt: a⃗⋅b⃗=AB⃗⋅b⃗\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\vec{{{A}{B}}}\cdot\vec{{b}}

AB⃗=AB‾∣b⃗∣⋅b⃗\vec{{{A}{B}}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot\vec{{b}}

Setzt man dies in unsere Gleichung ein, so erhält man a⃗⋅b⃗=AB‾∣b⃗∣⋅b⃗⋅b⃗=AB‾∣b⃗∣⋅∣b⃗∣2=AB‾⋅∣b⃗∣\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot\vec{{b}}\cdot\vec{{b}}=\frac{{\overline{{{A}{B}}}}}{{{\left|\vec{{b}}\right|}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}^{{2}}=\overline{{{A}{B}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|} Es gilt cos(α)=AB‾AC‾=AB‾∣a⃗∣,{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{\overline{{{A}{B}}}}{\overline{{{A}{C}}}}=\frac{\overline{{{A}{B}}}}{{\left|\vec{{a}}\right|}}, also ist AB‾=∣a⃗∣⋅cos(α)\overline{{{A}{B}}}={\left|\vec{{a}}\right|}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}

Wieder eingesetzt in unsere Gleichung, ergibt sich damit a⃗⋅b⃗=AB‾⋅∣b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)\vec{{a}}\cdot\vec{{b}}=\overline{{{A}{B}}}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}={\left|\vec{{a}}\right|}\cdot{\left|\vec{{b}}\right|}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}

Winkel zwischen zwei Vektoren

Für den von zwei Vektoren a⃗\vec{{a}} und b⃗\vec{{b}} eingeschlossenen Winkel α\alpha gilt: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

Beispiel:

Bestimme den Winkel zwischen a⃗=(123)\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix} und b⃗=(214)\vec{b}=\begin{pmatrix}2 \\1 \\4 \end{pmatrix}.

Lösung: cos(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} Setzt man die Vektoren ein, so erhält man: (123)⋅(214)12+22+32⋅22+12+42=1614⋅21 \frac{\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\1 \\4 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+ 1^2+ 4^2}}=\frac{16}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} Als Näherungswert erhält man dafür cos(α)=0.9331389496316869\cos(\alpha)=0.9331389496316869. Somit ist der Winkel in Grad etwa α=arccos(0.9331389496316869)=21.07047471684812° \alpha= \arccos (0.9331389496316869)=21.07047471684812\degree

Winkel zwischen zwei Geraden

Winkel zwischen zwei Geraden

Für den Winkel α\alpha zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren u⃗\vec{{u}} und v⃗\vec{{v}} gilt: cos(α)=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

Winkel zwischen zwei Ebenen

Winkel zwischen zwei Ebenen

Für den Winkel α\alpha zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n⃗1\vec{{n}}_{{1}} und n⃗2\vec{{n}}_{{2}} gilt: cos(α)=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣⋅∣n2⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Statt α\alpha sucht man den Winkel β=90°−α\beta=90\degree -\alpha.

cos(α)=∣nE⃗⋅u⃗∣∣nE⃗∣⋅∣u⃗∣ cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_E}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n_E}|\cdot|\vec{u}|}

Mit einem kleinen Schaubild kann man sich überlegen, dass für Winkel zwischen 0° und 90° gilt: cos(α)=cos(90°−β)=sin(β) \cos(\alpha)=\cos(90\degree-\beta)=\sin(\beta) .

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Für den Winkel α\alpha zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor n⃗\vec{n} und einer Gerade mit dem Richtungsvektor u⃗\vec{{u}} gilt: sin(α)=∣n⃗⋅u⃗∣∣n⃗∣⋅∣u⃗∣ sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}