Zu 1.

Somit wäre eine mögliche Wahl eine Gerade, die durch P verläuft, den Richtungsvektor von g als einen Spannvektor enthält und einen beliebigen anderen, um daraus eine Ebene zu machen.

Eine möglicher Parameterdarstellung wäre somit ${g}:\vec{{x}}={\left(\begin{matrix}{7}\\{5}\\{2}\end{matrix}\right)}+{k}\cdot{\left(\begin{matrix}{1}\\{3}\\{2}\end{matrix}\right)}+{l}\cdot{\left(\begin{matrix}{1}\\{2}\\{3}\end{matrix}\right)}$

Machen wir daraus noch eine Koordinatengleichung, indem wir zunächst das Vektorprodukt aus den Spannvektoren bilden:

$\vec{{n}}$= $\begin{pmatrix}1 \\3 \\2 \end{pmatrix}$ $\times$ $\begin{pmatrix}2 \\1 \\3 \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}7 \\1 \\-5 \end{pmatrix}$

Eine mögliche Koordinatengleichung ist somit $E: 7x_1+ 1x_2-5x_3= 44$

Zu 2.

Senkrecht zur $x_1$-Achse bedeutet, dass die Koordinatenform nur aus der $x_1$-Komponente besteht.

Da die $x_1$-Komponente des Punktes P 3 ist, muss die $x_1$-Komponente eines Punktes in der Ebene entweder eine 3+4=7 oder 3-4=-1 sein.

Somit kommen als Lösungen in Frage:

${E}_{{1}}:{x}_{{1}}={7}$ oder ${E}_{{2}}={x}_{{1}}=-{1}$

zu 3.

Einfach die Normalenform ausmultiplizieren. Das ergibt:

$x_1+7x_3= 22$

Zu 4.

Somit suchen wir einen Normalenvektor, der senkrecht auf $\begin{pmatrix}1 \\0 \\7 \end{pmatrix}$ steht. Diese Aussage ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt zwischen $\begin{pmatrix}1 \\0 \\7 \end{pmatrix}$ und dem gesuchten Vektor 0 sein muss.

In diesem Fall findet man eine Lösung durch scharfes Anschauen, z. B.: $\begin{pmatrix}-7 \\0 \\1 \end{pmatrix}$.

Stellt man damit wieder eine Koordinatenform auf, so erhält man unter der Berücksichtigung, dass auch der Ursprung in der Ebene liegt, die Lösung ${E}:-{7}{x}_{{1}}+{x}_{{3}}={0}$

Stellen wir also die Geradengleichung auf:

$g:\vec {x}= \begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}2 \\-3 \\1 \end{pmatrix}$

Nun suchen wir einen Schnittpunkt mit der Ebene E, also setzen wir die Komponenten der Gerade in die Ebenengleichung ein (auch hier kannst du mehrfach tippen, um dir den Lösungsweg schrittweise klarzumachen):

Setzt man den Wert $k=\frac{9}{14}$ in die Geradengleichung ein, so erhält man als Ortsvektor für den Lotfußpunkt L

$\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix} +\frac{9}{14} \cdot \begin{pmatrix}2 \\-3 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{16}{7} \\\frac{1}{14} \\\frac{51}{14} \end{pmatrix}$

Bestimmt man nun noch den Betrag des Verbindungsvektors $\vec{PL}=\begin{pmatrix}\frac{16}{7} \\\frac{1}{14} \\\frac{51}{14} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\2 \\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{9}{7} \\-\frac{27}{14} \\\frac{9}{14} \end{pmatrix}$, so erhält man als Abstand $|\vec{PL}|=\frac{9}{\sqrt{14}} =2.405351177211819$

Da wir zu unserer Ebene eine weitere Ebene suchen, die 4 LE von unserer Ebene entfernt ist, gehen wir von einem beliebigen Punkt unserer Ebene aus 4 Mal in Richtung des normierten Normalenvektors. Der dort befindliche Punkt $P_1$ muss in einer der Ebenen liegen, die den Abstand 4 LE von unserer Ebene haben:

$\vec{OP_1}= \begin{pmatrix}0 \\0 \\8 \end{pmatrix}+ 4 \cdot \vec{n_0}= \begin{pmatrix}\frac{8}{\sqrt{14}} \\-\frac{12}{\sqrt{14}} \\\frac{4}{\sqrt{14}}+8 \end{pmatrix}$

Das gleiche macht man in die andere Richtung, indem man 4 Mal den negativen normierten Normalenvektor anhängt und erhält:

$\vec{OP_2}= \begin{pmatrix}0 \\0 \\8 \end{pmatrix}- 4 \cdot \vec{n_0}= \begin{pmatrix}-\frac{8}{\sqrt{14}} \\\frac{12}{\sqrt{14}} \\-\frac{4}{\sqrt{14}}+8 \end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren der parallelen Ebenen sind mit dem Normalenvektor der Ebene ${E}:{2}{x}_{{1}}-{3}{x}_{{2}}+{x}_{{3}}={8}$ identisch. Allerdings enthalten die beiden neuen Ebenen die Punkte $P_1$ bzw. $P_2$.

Setzt man die Werte ein, so erhält man näherungsweise über $P_1$ die Ebenengleichung

$E_1:2x_1-3x_2+x_3=\frac{56}{\sqrt{14}}+8 =22.966629547095763$

Analog dazu ist die zweite Gleichung:

$E_2:2x_1-3x_2+x_3=-\frac{56}{\sqrt{14}}+8 =-6.9666295470957635$