Symmetrie

1. Motivation

Erkenntnisse über die Symmetrieeigenschaften eines Graphen können nützlich sein, um diesen zu zeichnen.

In unserem Fall behandeln wir nur die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung. Auch Symmetrien zu anderen Achsen und Punkten wären jedoch denkbar.

2. Achsensymmetrie zur y-Achse

2.1. Definition

Figure 1. Achsensymmetrie

Weist der Graph einer Funktion eine Achsensymmetrie zur y-Achse auf, so befindet sich neben einem Punkt $P(a|f(a))$ auch der an der y-Achse gespiegelte Punkt $P'(-a|f(a))$ auf dem Graph. Dies gilt für alle Werte von $a$ .

Aus dem Schaubild kann man entnehmen, dass im Falle der Achsensymmetrie stets $f(-a)=f(a)$ ist.

Somit gilt:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Wenn man nachweisen kann, dass $f(-a)=f(a)$ für alle $a in D$ , dann ist der $G_f$ , also der Graph von f, achsensymmetrisch zur y-Achse.

2.2. Beispiele zum Nachweis der Achsensymmetrie

Überprüfe die folgenden Beispiele auf Achsensymmetrie zur y-Achse:

$f(x)=x^4-x^2+1$
$g(x)=e^x+e^{-x}$

Lösung:

$f(-x)=(-x)^4-(-x)^2+1=x^4-x^2+1=f(x)$

Da $f(-x)=f(x)$ gilt, unabhängig vom Wert von x, ist der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse.

$g(-x)=e^{-x}+e^{-(-x)}=e^{-x}+e^x=g(x)$

Auch hier gilt wieder, dass $g(-x)=g(x)$ ist, so dass auch $G_g$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

3. Punktsymmetrie zum Ursprung

3.1. Definition

Figure 2. Punktsymmetrie

Analog wir bei der Achsensymmetrie zur y-Achse muss für jeden Punkt $P(a|f(a))$ gelten, dass auch sein Spiegelpunkt $P'(-a|f(-a))$ auf dem Graph liegt, wobei nun gelten muss, dass $f(-a)=-f(a)$ ist für alle a aus dme Definitionsbereich.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Wenn für alle $a in D$ gilt, dass $f(-a)=-f(a)$ ist, so ist $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

3.2. Beispiele zum Nachweis der Punktsymmetrie

Überprüfe die folgenden Beispiele auf Punktsymmetrie zum Ursprung:

$f(x)=-x^3+x$
$g(x)=x^2 / {x^3-x}$

Lösungen:

$f(-x)=-(-x)^3+(-x)=-(-x^3)-x=x^3-x=$

$=-(-x^3+x)=-f(x)$

Somit ist die Bedingung $f(-x)=-f(x)$ für die Punktsymmetrie im Ursprung erfüllt.

$g(-x)=(-x)^2 /{(-x)^3-(-x)}=x^2 / {-x^3+x}=$

$=x^2/ {-(x^3-x)}=- {x^2}/{x^3-x}=-g(x)$

Somit ist auch der Graph dieser Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

4. Ganzrationale Funktionen und Symmetrie

Funktionen der Form $a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_1*x^1+a_0$ mit $a_n!=0, a_i in RR (iin {0,1,2, ...,n}), n in NN$ heißen ganzrationale Funktionen vom Grad n. Der Grad entspricht hierbei der höchsten vorkommenden Potenz.

Beispiele:

$f(x)=x^3+2x-1$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3.
$g(x)=-2x^2+4x^7$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7.
$2x^0=2$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 0.

Mit den Definitionen der vorangegangenen Artikeln wird deutlich:

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion, in der nur ungerade Potenzen vorkommen, ist punktsymmetrisch zum Ursprung, eine mit ausschließlich geraden Potenzen hingegen achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispiele:

$f(x)=x^7+x^5-2x$ enthält nur ungerade Hochzahlen ( $2x=2x^1$ ), wodurch $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$g(x)=x^4-2$ enthält nur gerade Hochzahlen ( $-2=-2x^0$ , wobei die Null zu den geraden Zahlen gehört), wodurch $G_g$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
$h(x)=x^3-x^2$ enthält gerade und ungerade Hochzahlen, so dass $G_h$ weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

5. Sinus und Kosinus

Symmetrie des Sinus und Kosinus:

Es gilt:

$cos(-x)=cos(x)$ (punktsymmetrisch zum Ursprung)

und

$sin(-x)=-sin(x)$ (achsensymmetrisch zur y-Achse).