Erwartungswert für nicht binomial verteilte Zufallsvariablen

== Erwartungswert für nicht binomial verteilte Zufallsvariablen

Wir hatten den Erwartungswert E(X)=μE(X)=\muE(X)=μ für eine Bn;pB_{n;p}B​n;p​​-verteilte Zufallsvariable XXX als E(X)=μ=n⋅p E(X)=\mu=n\cdot p E(X)=μ=n⋅p definiert.

Eine etwas allgemeinere Definition entspricht einer Art gewichtetem Mittelwert aller möglichen Werte, die XXX annehmen kann, wobei die Gewichtung über die Wahrscheinlichkeit vorgenommen wird, die zu dem jeweiligen Wert der Zufallsvariable gehört.

Mit dieser Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable XXX definiert als:

Wir hatten den Erwartungswert $$E(X)=\mu$$ für eine $$B_{n;p}$$-verteilte Zufallsvariable $$X$$ als $$ E(X)=\mu=n\cdot p $$ definiert. Eine etwas allgemeinere Definition entspricht einer Art gewichtetem Mittelwert aller möglichen Werte, die $$X$$ annehmen kann, wobei die Gewichtung über die Wahrscheinlichkeit vorgenommen wird, die zu dem jeweiligen Wert der Zufallsvariable gehört. Mit dieser Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable $$X$$ definiert als:

E(X)=μ=∑k=0nxk⋅P(X=xk) E(X)=\mu=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k) E(X)=μ=​k=0​∑​n​​x​k​​⋅P(X=x​k​​)

$$ E(X)=\mu=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k) $$

XXX soll insgesamt nnn verschiedene Werte annehmen können, nämlich x0x_0x​0​​, x1x_1x​1​​, …​, xnx_nx​n​​. Somit entspricht in der Formel für den Erwartungswert das xkx_kx​k​​ dem k-ten von n Werten, den die Zufallsvariable XXX annehmen kann.

P(X=xk)P(X=x_k)P(X=x​k​​) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der XXX den Wert xkx_kx​k​​ annimmt.

Der Erwartungswert entspricht anschaulich dem Durchschnittswert, den die Zufallsvariable XXX bei einem Zufallsexperiment annimmt.

Dieser Erwartungswert soll anhand eines Beispiels erläutert werden.

$$X$$ soll insgesamt $$n$$ verschiedene Werte annehmen können, nämlich $$x_0$$, $$x_1$$, ..., $$x_n$$. Somit entspricht in der Formel für den Erwartungswert das $$x_k$$ dem k-ten von n Werten, den die Zufallsvariable $$X$$ annehmen kann. $$P(X=x_k)$$ ist die Wahrscheinlichkeit, mit der $$X$$ den Wert $$x_k$$ annimmt. Der Erwartungswert entspricht anschaulich dem Durchschnittswert, den die Zufallsvariable $$X$$ bei einem Zufallsexperiment annimmt. Dieser Erwartungswert soll anhand eines Beispiels erläutert werden.

Lohnt sich der Einsatz?

In einem Spiel muss ein Spieler zunächst 2€ einsetzen.

Daraufhin würfelt er mit einem Würfel ein Mal.

  • Ist die Augenzahl gerade, so erhält er als Gewinn seinen Einsatz zurück.

  • Ist die Augenzahl ungerade, so darf er nochmal würfeln: erscheint die gleiche Augenzahl wie beim ersten Wurf, so gewinnt er 10 Euro.

Ist dieses Spiel fair?

=== Lohnt sich der Einsatz? In einem Spiel muss ein Spieler zunächst 2€ einsetzen. Daraufhin würfelt er mit einem Würfel ein Mal. * Ist die Augenzahl gerade, so erhält er als Gewinn seinen Einsatz zurück. * Ist die Augenzahl ungerade, so darf er nochmal würfeln: erscheint die gleiche Augenzahl wie beim ersten Wurf, so gewinnt er 10 Euro. Ist dieses Spiel fair?

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns dem Einsatz des Spielers entspricht.

==== Ein Spiel ist *fair*, wenn der Erwartungswert des Gewinns dem Einsatz des Spielers entspricht. ====

Zunächst erstellen wir das zugehörige Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen möglichen Ergebnisse zu bestimmen:

Zunächst erstellen wir das zugehörige Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen möglichen Ergebnisse zu bestimmen:

XXX sei der ausgezahlte Gewinn des Spielers in Euro.

Fall xkx_kx​k​​ P(X=xk)P(X=x_k)P(X=x​k​​)

gerade Zahl

2

12 \frac{1}{2} ​2​​1​​

ungerade Zahl - gleiche Zahl

10

12⋅16=112\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}​2​​1​​⋅​6​​1​​=​12​​1​​

ungerade Zahl - andere Zahl beim zweiten Wurf

0

12⋅56=512\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}​2​​1​​⋅​6​​5​​=​12​​5​​
$$X$$ sei der ausgezahlte Gewinn des Spielers in Euro. |=== |Fall|$$x_k$$|$$P(X=x_k)$$ |gerade Zahl|2|!!0.5!! |ungerade Zahl - gleiche Zahl|10|$$!!0.5!!\cdot!!1/6!!=!!1/12!!$$ |ungerade Zahl - andere Zahl beim zweiten Wurf|0|$$!!0.5!!\cdot!!5/6!!=!!0.5*5/6!!$$ |===

Berechnung des Erwartungswerts: E(X)=∑k=0nxk⋅P(X=xk)=2⋅12+10⋅112+0⋅512=116 E(X)=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k) =2 \cdot \frac{1}{2}+10\cdot \frac{1}{12}+0\cdot \frac{5}{12}= \frac{11}{6} E(X)=​k=0​∑​n​​x​k​​⋅P(X=x​k​​)=2⋅​2​​1​​+10⋅​12​​1​​+0⋅​12​​5​​=​6​​11​​

Berechnung des Erwartungswerts: $$ E(X)=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k) =2 \cdot !!0.5!!+10\cdot !!1/12!!+0\cdot !!5/12!!= !!2/2+10/12!! $$

Somit gewinnt der Spieler pro Spiel im Durchschnitt zwar 116 \frac{11}{6} ​6​​11​​€, da er aber jeweils zwei Euro einsetzen muss, verliert er insgesamt 2−1162-\frac{11}{6}2−​6​​11​​ = 16 \frac{1}{6} ​6​​1​​ Euro pro Spiel.

Das Spiel ist also nicht fair.

Somit gewinnt der Spieler *pro Spiel im Durchschnitt* zwar !!11/6!!€, da er aber jeweils zwei Euro einsetzen muss, verliert er insgesamt $$2-!!11/6!!$$ = !!1/6!! Euro pro Spiel. Das Spiel ist also *nicht fair*.