Erwartungswert für nicht binomial verteilte Zufallsvariablen

E(X)=μ=k=0nxkP(X=xk) E(X)=\mu=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k)

Lohnt sich der Einsatz?

In einem Spiel muss ein Spieler zunächst 2€ einsetzen.

Daraufhin würfelt er mit einem Würfel ein Mal.

  • Ist die Augenzahl gerade, so erhält er als Gewinn seinen Einsatz zurück.

  • Ist die Augenzahl ungerade, so darf er nochmal würfeln: erscheint die gleiche Augenzahl wie beim ersten Wurf, so gewinnt er 10 Euro.

Ist dieses Spiel fair?

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns dem Einsatz des Spielers entspricht.

XX sei der ausgezahlte Gewinn des Spielers in Euro.

Fall xkx_k P(X=xk)P(X=x_k)

gerade Zahl

2

12 \frac{1}{2}

ungerade Zahl - gleiche Zahl

10

1216=112\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}

ungerade Zahl - andere Zahl beim zweiten Wurf

0

1256=512\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}

Berechnung des Erwartungswerts: E(X)=k=0nxkP(X=xk)=212+10112+0512=116 E(X)=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k) =2 \cdot \frac{1}{2}+10\cdot \frac{1}{12}+0\cdot \frac{5}{12}= \frac{11}{6}

Somit gewinnt der Spieler pro Spiel im Durchschnitt zwar 116 \frac{11}{6} €, da er aber jeweils zwei Euro einsetzen muss, verliert er insgesamt 21162-\frac{11}{6} = 16 \frac{1}{6} Euro pro Spiel.

Das Spiel ist also nicht fair.