Inhaltsverzeichnis

  • Hypothesentests

    • Arten von Hypothesentests

    • Rechtsseitiger Hypothesentest

    • Linksseitiger Hypothesentest

    • Zweiseitiger Hypothesentest

Hypothesentests

== Hypothesentests

Häufig ist es notwendig, über eine Stichprobe eine Aussage über die Güte eines Produkts zu treffen.

Beispielsweise überprüft man einige wenige elektronische Bauteile einer Produktionscharge auf Funktionsfähigkeit, um die Qualität der gesamten Charge zu beurteilen.

Ein weiteres bekanntes Beispiel ist die Zulassung von Medikamenten: das neue Produkt wird an einer begrenzten Anzahl von Probanden getestet, um zu überprüfen, ob das neue Medikament besser ist als alle bisherigen. Die Belastbarkeit einer solchen Studie soll dabei so gut sein, dass das Ergebnis nach Möglichkeit verallgemeinerbar ist: War das Medikament bei meinen Probanden also tatsächlich wirksam, sollte es auch für alle zukünftigen Patienten den gewünschten Effekt haben.

Auch medizinische Tests bilden nicht immer zu Hundert Prozent die Realität ab: ergibt eine Blutabnahme, dass ein Patient an einer schweren Krankheit leidet, so kann es dennoch sein, dass der Patient eigentlich gesund ist, der Test bei diesem einen Patienten aber versagt. Andererseits könnte bei einem kranken Patienten die Krankheit nicht erkannt und somit lebensrettende Maßnahmen nicht eingeleitet werden. Hier gilt es, den Test so zu gestalten, dass bei möglichst wenigen Patienten, die die Krankheit tatsächlich haben, der Test die Krankheit nicht diagnostiziert und natürlich nach Möglichkeit auch so wenige gesunde Menschen wie möglich durch eine Fehldiagnose in Angst und Schrecken versetzt.

In diesem Kapitel werden Aussagen über die Qualität von Stichproben auf Belastbarkeit hin untersucht. Die zugehörigen Testverfahren werden als Hypothesentests bzw. Signifikanztests bezeichnet.

Häufig ist es notwendig, über eine Stichprobe eine Aussage über die Güte eines Produkts zu treffen. Beispielsweise überprüft man einige wenige elektronische Bauteile einer Produktionscharge auf Funktionsfähigkeit, um die Qualität der gesamten Charge zu beurteilen. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist die Zulassung von Medikamenten: das neue Produkt wird an einer begrenzten Anzahl von Probanden getestet, um zu überprüfen, ob das neue Medikament besser ist als alle bisherigen. Die Belastbarkeit einer solchen Studie soll dabei so gut sein, dass das Ergebnis nach Möglichkeit verallgemeinerbar ist: War das Medikament bei meinen Probanden also tatsächlich wirksam, sollte es auch für alle zukünftigen Patienten den gewünschten Effekt haben. Auch medizinische Tests bilden nicht immer zu Hundert Prozent die Realität ab: ergibt eine Blutabnahme, dass ein Patient an einer schweren Krankheit leidet, so kann es dennoch sein, dass der Patient eigentlich gesund ist, der Test bei diesem einen Patienten aber versagt. Andererseits könnte bei einem kranken Patienten die Krankheit nicht erkannt und somit lebensrettende Maßnahmen nicht eingeleitet werden. Hier gilt es, den Test so zu gestalten, dass bei möglichst wenigen Patienten, die die Krankheit tatsächlich haben, der Test die Krankheit nicht diagnostiziert und natürlich nach Möglichkeit auch so wenige gesunde Menschen wie möglich durch eine Fehldiagnose in Angst und Schrecken versetzt. In diesem Kapitel werden Aussagen über die Qualität von Stichproben auf Belastbarkeit hin untersucht. Die zugehörigen Testverfahren werden als *Hypothesentests* bzw. *Signifikanztests* bezeichnet.

Arten von Hypothesentests

Will man mit Hilfe eines Tests herausfinden, ob ein Produkt besser ist als ein anderes, so führt man einen einseitigen Hypothesentest durch. Ebenso bei der Überprüfung ob ein Produkt schlechter ist als ein anderes.

Bei einseitigen Hypothesentests wird zwischen links- und rechtsseitigen Hypothesentests unterschieden.

Ist jedoch nur zu überprüfen, ob ein Produkt anders ist (also besser oder schlechter), so ist ein zweiseitiger Hypothesentest das Mittel der Wahl.

Die einzelnen Testarten werden im Folgenden vorgestellt:

=== Arten von Hypothesentests Will man mit Hilfe eines Tests herausfinden, ob ein Produkt besser ist als ein anderes, so führt man einen *einseitigen Hypothesentest* durch. Ebenso bei der Überprüfung ob ein Produkt schlechter ist als ein anderes. Bei einseitigen Hypothesentests wird zwischen *links- und rechtsseitigen Hypothesentests* unterschieden. Ist jedoch nur zu überprüfen, ob ein Produkt anders ist (also besser oder schlechter), so ist ein *zweiseitiger Hypothesentest* das Mittel der Wahl. Die einzelnen Testarten werden im Folgenden vorgestellt:

Rechtsseitiger Hypothesentest

Von der Wirksamkeit eines Medikaments zur Bekämpfung einer Kinderkrankheit ist bekannt, dass 60% der betroffenen Kinder nach Einnahme des Medikaments bereits am darauffolgenden Tag wieder gesund sind.

Der Nachfolger des Medikaments soll sogar noch besser sein. Um dies zu überprüfen, wird das Medikament an einer Gruppe von 50 kranken Kindern getestet.

Wie viele Kinder müssen am Tag nach der Einnahme mindestens wieder gesund sein, um mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% (auch: mit einem Signifikanzniveau von 5 %) sagen zu können, dass das neue Medikament besser ist als das bisherige?

Nullhypothese aufstellen

H0H_0H​0​​: Das neue Medikament ist genauso gut wie das alte, die "Trefferwahrscheinlichkeit" für eine Heilung nach einem Tag bleibt also unverändert bei p=0,6p=0,6p=0,6. Wir gehen zunächst davon aus, dass dies der Fall ist:

Somit definieren wir die Zufallsvariable XXX, die die Anzahl der nach einem Tag geheilten Personen angibt. Sie ist B50;0,6B_{50;0,6}B​50;0,6​​-verteilt.

Gegenhypothese formulieren

H1H_1H​1​​: Das neue Medikament ist besser als das alte Medikament, d. h. p>0,6p>0,6p>0,6.

Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der geheilten Patienten im Annahmebereich A=[0;a]A=[0 ; a]A=[0;a] liegt.

H0H_0H​0​​ wird zugunsten von H1H_1H​1​​ abgelehnt, wenn deutlich mehr Patienten als bisher innerhalb eines Tages genesen. Dazu sollte die Anzahl der geheilten Personen zwischen a+1 und 50, im Ablehnungsbereich, liegen, also im Intervall A¯=[a+1;50]\bar {A}=[a+1; 50]​A​¯​​=[a+1;50].

Da der Ablehnungsbereich rechts liegt, liegt hier ein rechtsseitiger Hypothesentest vor.

Annahmebereich berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament nicht besser ist als das alte, aber durch die Studie zufällig dennoch für besser erklärt wird, soll bei höchstens 5% liegen, also höchstens der Irrtumswahrscheinlichkeit.

Somit muss gelten: P(X≥a+1)≤0,05 P(X \ge a+1) \le 0,05 P(X≥a+1)≤0,05 Das ist identisch zu P(X>a)≤0,05 P(X>a) \le 0,05 P(X>a)≤0,05 bzw. 1−P(X≤a)≤0,05 1-P(X \le a) \le 0,05 1−P(X≤a)≤0,05 oder P(X≤a)≥0,95 P(X \le a) \ge 0,95 P(X≤a)≥0,95

Das kleinste a, das diese Bedingung erfüllt ist a=36a=36a=36. Der Annahmebereich ist somit A=[0;36]A=[0;36]A=[0;36], der Ablehnungsbereich A¯=[37;50]\bar{A}=[37;50]​A​¯​​=[37;50]

Antwort formulieren

Sollten nach der Einnahme des Medikaments mehr als 36 Kinder am nächsten Tag gesund sein, so ist das neue Medikament bei einem Signifikanzniveau von 5% wirksamer als das alte.
=== Rechtsseitiger Hypothesentest Von der Wirksamkeit eines Medikaments zur Bekämpfung einer Kinderkrankheit ist bekannt, dass 60% der betroffenen Kinder nach Einnahme des Medikaments bereits am darauffolgenden Tag wieder gesund sind. Der Nachfolger des Medikaments soll sogar noch besser sein. Um dies zu überprüfen, wird das Medikament an einer Gruppe von 50 kranken Kindern getestet. [%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |icon:question-circle[3x,role=red] |Wie viele Kinder müssen am Tag nach der Einnahme mindestens wieder gesund sein, um mit einer *Irrtumswahrscheinlichkeit* von höchstens 5% (auch: *mit einem Signifikanzniveau von 5 %*) sagen zu können, dass das neue Medikament besser ist als das bisherige? |=== [%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |Nullhypothese aufstellen |$$H_0$$: Das neue Medikament ist *genauso gut* wie das alte, die "Trefferwahrscheinlichkeit" für eine Heilung nach einem Tag bleibt also unverändert bei $$p=0,6$$. Wir gehen zunächst davon aus, dass dies der Fall ist: Somit definieren wir die Zufallsvariable $$X$$, die die Anzahl der nach einem Tag geheilten Personen angibt. Sie ist $$B_{50;0,6}$$-verteilt. |Gegenhypothese formulieren |$$H_1$$: Das neue Medikament ist *besser* als das alte Medikament, d. h. $$p>0,6$$. |Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren |Die Nullhypothese wird *angenommen*, wenn die Anzahl der geheilten Patienten im *Annahmebereich* $$A=[0 ; a]$$ liegt. $$H_0$$ wird zugunsten von $$H_1$$ *abgelehnt*, wenn deutlich mehr Patienten als bisher innerhalb eines Tages genesen. Dazu sollte die Anzahl der geheilten Personen zwischen a+1 und 50, im *Ablehnungsbereich*, liegen, also im Intervall $$\bar {A}=[a+1; 50]$$. Da der Ablehnungsbereich rechts liegt, liegt hier ein *rechtsseitiger Hypothesentest* vor. |Annahmebereich berechnen a|Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament nicht besser ist als das alte, aber durch die Studie zufällig dennoch für besser erklärt wird, soll bei höchstens 5% liegen, also höchstens der Irrtumswahrscheinlichkeit. Somit muss gelten: $$ P(X \ge a+1) \le 0,05 $$ Das ist identisch zu $$ P(X>a) \le 0,05 $$ bzw. $$ 1-P(X \le a) \le 0,05 $$ oder $$ P(X \le a) \ge 0,95 $$ Das *kleinste a*, das diese Bedingung erfüllt ist $$a=36$$. Der *Annahmebereich* ist somit $$A=[0;36]$$, der *Ablehnungsbereich* $$\bar{A}=[37;50]$$ |Antwort formulieren |Sollten nach der Einnahme des Medikaments mehr als 36 Kinder am nächsten Tag gesund sein, so ist das neue Medikament bei einem *Signifikanzniveau von 5%* wirksamer als das alte. |===

Rechtsseitiger Hypothesentest

Von der Wirksamkeit eines Medikaments zur Bekämpfung einer Kinderkrankheit ist bekannt, dass 60% der betroffenen Kinder nach Einnahme des Medikaments bereits am darauffolgenden Tag wieder gesund sind.

Der Nachfolger des Medikaments soll sogar noch besser sein. Um dies zu überprüfen, wird das Medikament an einer Gruppe von 50 kranken Kindern getestet.

=== Rechtsseitiger Hypothesentest Von der Wirksamkeit eines Medikaments zur Bekämpfung einer Kinderkrankheit ist bekannt, dass 60% der betroffenen Kinder nach Einnahme des Medikaments bereits am darauffolgenden Tag wieder gesund sind. Der Nachfolger des Medikaments soll sogar noch besser sein. Um dies zu überprüfen, wird das Medikament an einer Gruppe von 50 kranken Kindern getestet.

Wie viele Kinder müssen am Tag nach der Einnahme mindestens wieder gesund sein, um mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% (auch: mit einem Signifikanzniveau von 5 %) sagen zu können, dass das neue Medikament besser ist als das bisherige?
[%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |icon:question-circle[3x,role=red] |Wie viele Kinder müssen am Tag nach der Einnahme mindestens wieder gesund sein, um mit einer *Irrtumswahrscheinlichkeit* von höchstens 5% (auch: *mit einem Signifikanzniveau von 5 %*) sagen zu können, dass das neue Medikament besser ist als das bisherige? |===

Nullhypothese aufstellen

H0H_0H​0​​: Das neue Medikament ist genauso gut wie das alte, die "Trefferwahrscheinlichkeit" für eine Heilung nach einem Tag bleibt also unverändert bei p=0,6p=0,6p=0,6. Wir gehen zunächst davon aus, dass dies der Fall ist:

Somit definieren wir die Zufallsvariable XXX, die die Anzahl der nach einem Tag geheilten Personen angibt. Sie ist B50;0,6B_{50;0,6}B​50;0,6​​-verteilt.

*Nullhypothese aufstellen* $$H_0$$: Das neue Medikament ist *genauso gut* wie das alte, die "Trefferwahrscheinlichkeit" für eine Heilung nach einem Tag bleibt also unverändert bei $$p=0,6$$. Wir gehen zunächst davon aus, dass dies der Fall ist: Somit definieren wir die Zufallsvariable $$X$$, die die Anzahl der nach einem Tag geheilten Personen angibt. Sie ist $$B_{50;0,6}$$-verteilt.

Gegenhypothese formulieren

H1H_1H​1​​: Das neue Medikament ist besser als das alte Medikament, d. h. p>0,6p>0,6p>0,6.

*Gegenhypothese formulieren* $$H_1$$: Das neue Medikament ist *besser* als das alte Medikament, d. h. $$p>0,6$$.

Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der geheilten Patienten im Annahmebereich A=[0;a]A=[0 ; a]A=[0;a] liegt.

*Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren* Die Nullhypothese wird *angenommen*, wenn die Anzahl der geheilten Patienten im *Annahmebereich* $$A=[0 ; a]$$ liegt.

H0H_0H​0​​ wird zugunsten von H1H_1H​1​​ abgelehnt, wenn deutlich mehr Patienten als bisher innerhalb eines Tages genesen. Dazu sollte die Anzahl der geheilten Personen zwischen a+1 und 50, im Ablehnungsbereich, liegen, also im Intervall A¯=[a+1;50]\bar {A}=[a+1; 50]​A​¯​​=[a+1;50].

Da der Ablehnungsbereich rechts liegt, liegt hier ein rechtsseitiger Hypothesentest vor.

$$H_0$$ wird zugunsten von $$H_1$$ *abgelehnt*, wenn deutlich mehr Patienten als bisher innerhalb eines Tages genesen. Dazu sollte die Anzahl der geheilten Personen zwischen a+1 und 50, im *Ablehnungsbereich*, liegen, also im Intervall $$\bar {A}=[a+1; 50]$$. Da der Ablehnungsbereich rechts liegt, liegt hier ein *rechtsseitiger Hypothesentest* vor.

Annahmebereich berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament nicht besser ist als das alte, aber durch die Studie zufällig dennoch für besser erklärt wird, soll bei höchstens 5% liegen, also höchstens auf dem Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit.

Somit muss gelten: P(X≥a+1)=P(X>a)≤0,05 P(X \ge a+1) =P(X > a) \le 0,05 P(X≥a+1)=P(X>a)≤0,05 Das ist identisch zu 1−P(X≤a)≤0,05 1-P(X \le a) \le 0,05 1−P(X≤a)≤0,05 oder P(X≤a)≥0,95 P(X \le a) \ge 0,95 P(X≤a)≥0,95

*Annahmebereich berechnen* Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament nicht besser ist als das alte, aber durch die Studie zufällig dennoch für besser erklärt wird, soll bei höchstens 5% liegen, also höchstens auf dem Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit. Somit muss gelten: $$ P(X \ge a+1) =P(X > a) \le 0,05 $$ Das ist identisch zu $$ 1-P(X \le a) \le 0,05 $$ oder $$ P(X \le a) \ge 0,95 $$

Das kleinste a, das diese Bedingung erfüllt ist a=36a=36a=36. Der Annahmebereich ist somit A=[0;36]A=[0;36]A=[0;36], der Ablehnungsbereich A¯=[37;50]\bar{A}=[37;50]​A​¯​​=[37;50]

Das *kleinste a*, das diese Bedingung erfüllt ist $$a=36$$. Der *Annahmebereich* ist somit $$A=[0;36]$$, der *Ablehnungsbereich* $$\bar{A}=[37;50]$$

Antwort formulieren

Sollten nach der Einnahme des Medikaments mehr als 36 Kinder am nächsten Tag gesund sein, so ist das neue Medikament bei einem Signifikanzniveau von 5% wirksamer als das alte.

*Antwort formulieren* Sollten nach der Einnahme des Medikaments mehr als 36 Kinder am nächsten Tag gesund sein, so ist das neue Medikament bei einem *Signifikanzniveau von 5%* wirksamer als das alte.

Linksseitiger Hypothesentest

Eine Partei hat bei der letzten Wahl die Stimmen von 35% der Bevölkerung erhalten. Die Parteispitze befürchtet, dass die Partei inzwischen weniger beliebt ist. Bei einer repräsentativen Umfrage mit 1000 befragten Personen soll mit einem Signifikanzniveau von 1% überprüft werden, ob die Partei inzwischen tatsächlich unbeliebter ist.

Wie viele Personen unter den Befragten dürfen höchstens für die Partei stimmen, wenn mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1% bestimmt werden soll, ob die Partei tatsächlich in der Wählergunst gefallen ist?

Nullhypothese aufstellen

H0H_0H​0​​: Die Partei ist genauso beliebt wie bisher.

Wir gehen deshalb davon aus, dass die Zufallsvariable XXX, die die Anzahl der Ja-Stimmen unter den Befragten wiedergibt, B1000;0,35B_{1000;0,35}B​1000;0,35​​-verteilt ist.

Gegenhypothese formulieren

H1H_1H​1​​: Die Partei ist weniger beliebt als bisher, d. h. p<0,35p<0,35p<0,35.

Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der mit "Ja" abstimmenden befragten Personen im Annahmebereich A=[a;1000]A=[a;1000]A=[a;1000] liegt.

H0H_0H​0​​ wird zugunsten von H1H_1H​1​​ abgelehnt, wenn deutlich weniger Bürger für die Partei stimmen als bisher. Dann würde die Anzahl der mit "Ja" abstimmenden Personen zwischen 0 und a-1, im Ablehnungsbereich, liegen, also im Intervall A¯=[0;a−1]\bar {A}=[0; a-1]​A​¯​​=[0;a−1].

Da der Ablehnungsbereich links liegt, liegt hier ein linksseitiger Hypothesentest vor.

Annahmebereich berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Partei genauso beliebt ist wie bei der letzten Wahl, aber durch die Befragung zufällig dennoch für unbeliebter erklärt wird, soll bei höchstens 1% liegen, also höchstens auf dem Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit.

Somit muss gelten: P(X≤a−1)≤0,01 P(X \le a-1) \le 0,01 P(X≤a−1)≤0,01

Das größte a-1, das diese Bedingung erfüllt ist a−1=314a-1=314a−1=314, d. h. a=315a=315a=315. Der Annahmebereich ist somit A=[315;1000]A=[315;1000]A=[315;1000], der Ablehnungsbereich A¯=[0;314]\bar{A}=[0;314]​A​¯​​=[0;314]

Alternative Bedingung:

Das größte a-1, das P(X≤a−1)≤0,01P(X \le a-1) \le 0,01 P(X≤a−1)≤0,01 erfüllt, entspricht dem kleinsten a, das P(X≤a)>0,01P(X \le a)>0,01P(X≤a)>0,01 erfüllt.

Antwort formulieren

Sollten bei der Befragung weniger als 315 Personen für die Partei stimmen, so ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1% davon auszugehen, dass die Partei unbeliebter geworden ist, also einen Stimmanteil von unter 35% in der Bevölkerung hat.
=== Linksseitiger Hypothesentest Eine Partei hat bei der letzten Wahl die Stimmen von 35% der Bevölkerung erhalten. Die Parteispitze befürchtet, dass die Partei inzwischen weniger beliebt ist. Bei einer repräsentativen Umfrage mit 1000 befragten Personen soll mit einem *Signifikanzniveau von 1%* überprüft werden, ob die Partei inzwischen tatsächlich unbeliebter ist. [%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |icon:question-circle[3x,role=red] |Wie viele Personen unter den Befragten dürfen höchstens für die Partei stimmen, wenn mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1% bestimmt werden soll, ob die Partei tatsächlich in der Wählergunst gefallen ist? |=== [%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |Nullhypothese aufstellen |$$H_0$$: Die Partei ist genauso beliebt wie bisher. Wir gehen deshalb davon aus, dass die Zufallsvariable $$X$$, die die Anzahl der Ja-Stimmen unter den Befragten wiedergibt, $$B_{1000;0,35}$$-verteilt ist. |Gegenhypothese formulieren |$$H_1$$: Die Partei ist weniger beliebt als bisher, d. h. $$p<0,35$$. |Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren |Die Nullhypothese wird *angenommen*, wenn die Anzahl der mit "Ja" abstimmenden befragten Personen im *Annahmebereich* $$A=[a;1000]$$ liegt. $$H_0$$ wird zugunsten von $$H_1$$ *abgelehnt*, wenn deutlich weniger Bürger für die Partei stimmen als bisher. Dann würde die Anzahl der mit "Ja" abstimmenden Personen zwischen 0 und a-1, im *Ablehnungsbereich*, liegen, also im Intervall $$\bar {A}=[0; a-1]$$. Da der Ablehnungsbereich links liegt, liegt hier ein *linksseitiger Hypothesentest* vor. a|Annahmebereich berechnen a|Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Partei genauso beliebt ist wie bei der letzten Wahl, aber durch die Befragung zufällig dennoch für unbeliebter erklärt wird, soll bei höchstens 1% liegen, also höchstens auf dem Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit. Somit muss gelten: $$ P(X \le a-1) \le 0,01 $$ Das *größte a-1*, das diese Bedingung erfüllt ist $$a-1=314$$, d. h. $$a=315$$. Der *Annahmebereich* ist somit $$A=[315;1000]$$, der *Ablehnungsbereich* $$\bar{A}=[0;314]$$ ==== *Alternative Bedingung:* Das *größte a-1*, das $$P(X \le a-1) \le 0,01 $$ erfüllt, entspricht dem *kleinsten a*, das $$P(X \le a)>0,01$$ erfüllt. ==== |Antwort formulieren |Sollten bei der Befragung weniger als 315 Personen für die Partei stimmen, so ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1% davon auszugehen, dass die Partei unbeliebter geworden ist, also einen Stimmanteil von unter 35% in der Bevölkerung hat. |===

Zum Auffinden des richtigen Wertes für aaa in der Tabelle ist die Verwendung der Sigma-Regeln hilfreich!
[TIP] ==== Zum Auffinden des richtigen Wertes für $$a$$ in der Tabelle ist die Verwendung der Sigma-Regeln hilfreich! ====

Zweiseitiger Hypothesentest

=== Zweiseitiger Hypothesentest

Der Laptop-Hersteller JCN hat im Vorjahr 30 Prozent des Marktes beherrscht. Im Rahmen einer Marktforschung soll überprüft werden, ob dies immer noch der Fall ist. Deshalb werden in einem Elektronikladen die letzten 500 Laptop-Käufe anonym untersucht, um in Erfahrung zu bringen, ob der Marktanteil noch gegeben ist.

In welchem Intervall muss die Anzahl der verkauften JCN-Laptops liegen, damit man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% davon ausgehen kann, dass sich der Marktanteil im Vergleich zum Vorjahr nicht geändert hat?
Der Laptop-Hersteller JCN hat im Vorjahr 30 Prozent des Marktes beherrscht. Im Rahmen einer Marktforschung soll überprüft werden, ob dies immer noch der Fall ist. Deshalb werden in einem Elektronikladen die letzten 500 Laptop-Käufe anonym untersucht, um in Erfahrung zu bringen, ob der Marktanteil noch gegeben ist. [%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |icon:question-circle[3x,role=red] |In welchem Intervall muss die Anzahl der verkauften JCN-Laptops liegen, damit man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% davon ausgehen kann, dass sich der Marktanteil im Vergleich zum Vorjahr nicht geändert hat? |===

Nullhypothese aufstellen

H0H_0H​0​​: Der Marktanteil ist unverändert. Somit ist die Zufallsvariable X, die die Anzahl der gekauften Laptops wiedergibt, B500;0,3B_{500;0,3}B​500;0,3​​-verteilt.

Gegenhypothese formulieren

H1H_1H​1​​: Der Marktanteil hat sich verändert, also p≠0,3p\ne 0,3p≠0,3

Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der Käufe im Annahmebereich A=[a;b]A=[a;b]A=[a;b] liegt. Der Ablehnungsbereich ist A¯=[0;a−1]∪[b+1;500]\bar{A}= [0;a-1]\cup [b+1;500]​A​¯​​=[0;a−1]∪[b+1;500]

Da der Ablehnungsbereich links und rechts liegt, liegt hier ein zweiseitiger Hypothesentest vor.

Annahmebereich berechnen

Man verteilt die Irrtumswahrscheinlichkeit auf beide Seiten, also jeweils 2,5%2,5\%2,5%:

Linke Seite: P(X≤a−1)≤0,025 P(X\le a-1) \le 0,025 P(X≤a−1)≤0,025 Das größte a-1, für das diese Bedingung gilt ist a−1=129a-1=129a−1=129, also a=130a=130a=130.

Rechte Seite: P(X≥b+1)≤0,025 P(X\ge b+1)\le 0,025 P(X≥b+1)≤0,025 entspricht 1−P(X<b+1)≤0,025 1-P(X < b+1)\le 0,025 1−P(X<b+1)≤0,025 also: 1−P(X≤b)≤0,025 bzw. P(X≤b)≥0,975 1- P(X \le b) \le 0,025 \text{ bzw. } P(X\le b)\ge0,975 1−P(X≤b)≤0,025 bzw. P(X≤b)≥0,975 Somit ist hier das kleinste b gesucht, für das diese Bedingung gilt. Das ist hier erfüllt für b=170b=170b=170.

Gesamt:

Somit ist der Annahmebereich A=[130;170]A=[130;170]A=[130;170], der Ablehnungsbereich A¯=[0;129]∪[171,500]\bar{A}=[0;129]\cup[171,500]​A​¯​​=[0;129]∪[171,500].

Antwort formulieren

Sollte die Anzahl der verkauften Laptops außerhalb des Intervalls [130;170][130;170][130;170] liegen, so ist bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5%5\%5% davon auszugehen, dass der Marktanteil des Herstellers nicht mehr bei 30%30\%30% liegt.
[%autowidth,frame=none , cols=2 ] |=== |Nullhypothese aufstellen |$$H_0$$: Der Marktanteil ist unverändert. Somit ist die Zufallsvariable X, die die Anzahl der gekauften Laptops wiedergibt, $$B_{500;0,3}$$-verteilt. |Gegenhypothese formulieren |$$H_1$$: Der Marktanteil hat sich verändert, also $$p\ne 0,3$$ |Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren |Die Nullhypothese wird *angenommen*, wenn die Anzahl der Käufe im *Annahmebereich* $$A=[a;b]$$ liegt. Der Ablehnungsbereich ist $$\bar{A}= [0;a-1]\cup [b+1;500]$$ Da der Ablehnungsbereich links und rechts liegt, liegt hier ein *zweiseitiger Hypothesentest* vor. a|Annahmebereich berechnen a|Man verteilt die Irrtumswahrscheinlichkeit auf beide Seiten, also jeweils $$2,5\%$$: *Linke Seite:* $$ P(X\le a-1) \le 0,025 $$ Das *größte a-1*, für das diese Bedingung gilt ist $$a-1=129$$, also $$a=130$$. *Rechte Seite:* $$ P(X\ge b+1)\le 0,025 $$ entspricht $$ 1-P(X < b+1)\le 0,025 $$ also: $$ 1- P(X \le b) \le 0,025 \text{ bzw. } P(X\le b)\ge0,975 $$ Somit ist hier das *kleinste b* gesucht, für das diese Bedingung gilt. Das ist hier erfüllt für $$b=170$$. *Gesamt:* Somit ist der Annahmebereich $$A=[130;170]$$, der Ablehnungsbereich $$\bar{A}=[0;129]\cup[171,500]$$. |Antwort formulieren a|Sollte die Anzahl der verkauften Laptops außerhalb des Intervalls $$[130;170]$$ liegen, so ist bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $$5\%$$ davon auszugehen, dass der Marktanteil des Herstellers *nicht* mehr bei $$30\%$$ liegt. |===