Rechtsseitiger Hypothesentest

Von der Wirksamkeit eines Medikaments zur Bekämpfung einer Kinderkrankheit ist bekannt, dass 60% der betroffenen Kinder nach Einnahme des Medikaments bereits am darauffolgenden Tag wieder gesund sind.

Der Nachfolger des Medikaments soll sogar noch besser sein. Um dies zu überprüfen, wird das Medikament an einer Gruppe von 50 kranken Kindern getestet.

Wie viele Kinder müssen am Tag nach der Einnahme mindestens wieder gesund sein, um mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% (auch: mit einem Signifikanzniveau von 5 %) sagen zu können, dass das neue Medikament besser ist als das bisherige?

Nullhypothese aufstellen

$H_0$ : Das neue Medikament ist genauso gut wie das alte, die "Trefferwahrscheinlichkeit" für eine Heilung nach einem Tag bleibt also unverändert bei $p=0,6$ . Wir gehen zunächst davon aus, dass dies der Fall ist:

Somit definieren wir die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl der nach einem Tag geheilten Personen angibt. Sie ist $B_{50;0,6}$ -verteilt.

Gegenhypothese formulieren

$H_1$ : Das neue Medikament ist besser als das alte Medikament, d. h. $p>0,6$ .

Annahmebereich und Ablehnungsbereich definieren

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der geheilten Patienten im Annahmebereich $A=[0 ; a]$ liegt.

$H_0$ wird zugunsten von $H_1$ abgelehnt, wenn deutlich mehr Patienten als bisher innerhalb eines Tages genesen. Dazu sollte die Anzahl der geheilten Personen zwischen a+1 und 50, im Ablehnungsbereich, liegen, also im Intervall $\bar {A}=[a+1; 50]$ .

Da der Ablehnungsbereich rechts liegt, liegt hier ein rechtsseitiger Hypothesentest vor.

Annahmebereich berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament nicht besser ist als das alte, aber durch die Studie zufällig dennoch für besser erklärt wird, soll bei höchstens 5% liegen, also höchstens auf dem Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit.

Somit muss gelten: $P(X \ge a+1) =P(X > a) \le 0,05$ Das ist identisch zu $1-P(X \le a) \le 0,05$ oder $P(X \le a) \ge 0,95$

Das kleinste a, das diese Bedingung erfüllt ist $a=36$ . Der Annahmebereich ist somit $A=[0;36]$ , der Ablehnungsbereich $\bar{A}=[37;50]$

Antwort formulieren

Sollten nach der Einnahme des Medikaments mehr als 36 Kinder am nächsten Tag gesund sein, so ist das neue Medikament bei einem Signifikanzniveau von 5% wirksamer als das alte.