(kn)=k!⋅(n−k)!n!
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Bernoulli-Experimenten
== Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Bernoulli-Experimenten
Der Binomialkoeffizient
=== Der Binomialkoeffizient
====
$$
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}
$$
====
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Treffer-Wahrscheinlichkeit p genau k Treffer vorkommen, ist
====
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge _n_ mit der Treffer-Wahrscheinlichkeit _p_ genau _k_ Treffer vorkommen, ist
$$
B_{n;p}(k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
====
Wahrscheinlichkeitsverteilung
=== Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Funktion, deren Zuordnungsvorschrift einer Bernoulli-Kette der Länge n jeder Trefferzahl k die zugehörige Wahrscheinlichkeit zuweist, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. hier speziell Binomialverteilung.
Die Funktion, deren Zuordnungsvorschrift einer Bernoulli-Kette der Länge _n_ jeder Trefferzahl _k_ die zugehörige Wahrscheinlichkeit zuweist, heißt *Wahrscheinlichkeitsverteilung* bzw. hier speziell *Binomialverteilung*.
Für n=5 und p= sieht die Verteilung beispielsweise so aus:
| k | |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
!!
!B(n,p,k):=(factorial(n)/factorial(k)/factorial(n-k))*p^k*(1-p)^(n-k)
!p:0.4
!!
Für n=5 und p=!!p!! sieht die Verteilung beispielsweise so aus:
|===
|k|$$B_{5;!!p!!}(k)$$
|0|!!#B(5,p,0) #!!
|1|!!#B(5,p,1) #!!
|2|!!#B(5,p,2) #!!
|3|!!#B(5,p,3) #!!
|4|!!#B(5,p,4) #!!
|5|!!#B(5,p,5) #!!
|===
!!
!startx:-0.7
!endex:6
!starty:-0.03
!endey:.5
!!
!ppp
ratio:1,.5
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1
pen:#ccccff,4
grid:-0.5,-0.5
pen:blue,10,0,0
polygon:-0.5,0,-0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,0,-0.5,0 ,#aaaaff
polygon:0.5,0,0.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,0,0.5 ,0,#aaaaff
polygon:1.5,0,1.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,0,1.5 ,0,#aaaaff
polygon:2.5,0,2.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,0,2.5 ,0,#aaaaff
polygon:3.5,0,3.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,0,3.5 ,0,#aaaaff
polygon:4.5,0,4.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,0,4.5 ,0,#aaaaff
!ppp
Der gewichtete Mittelwert, der im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsrechnung als Erwartungswert bezeichnet wird, ist hier
Der _gewichtete Mittelwert_, der im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsrechnung als *Erwartungswert $$\mu$$* bezeichnet wird, ist hier
oder kurz geschrieben:
$$
\mu= 0\cdot B_{5;!!p!!}(0) +1\cdot B_{5;!!p!!}(1)+2\cdot B_{5;!!p!!}(2)+3\cdot B_{5;!!p!!}(3)+4\cdot B_{5;!!p!!}(4)+5\cdot B_{5;!!p!!}(5)
$$
oder kurz geschrieben:
$$
\mu= \sum_{k=0}^5 k \cdot B_{5;!!p!!}(k)
$$
$$
\mu= \sum_{k=0}^5 k \cdot B_{5;!!p!!}(k)=!!#0*B(5,p,0)+1*B(5,p,1)+2*B(5,p,2)+3*B(5,p,3)+4*B(5,p,4)+5*B(5,p,5)#!!
$$
Erwartungswert einer -verteilten Zufallsvariable:
====
*Erwartungswert einer $$B_{n;p}$$-verteilten Zufallsvariable*:
$$
\mu=n\cdot p
$$
====
Beweis der Formel
Allgemein ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable definiert als
ist dabei der k-te von n Werten, den die Zufallsvariable annehmen kann. In unserem Fall ist , da die Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer steht und somit die Werte von 0 bis n annehmen kann.
Somit gilt für eine -verteilte Zufallsvariable :
*Beweis der Formel $$\mu=n \cdot p$$*
Allgemein ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable $$X$$ definiert als
$$
\mu=\sum_{k=0}^{n} x_k \cdot P(X=x_k)
$$
$$x_k$$ ist dabei der k-te von n Werten, den die Zufallsvariable $$X$$ annehmen kann. In unserem Fall ist $$x_k=k$$, da die Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer steht und somit die Werte von 0 bis n annehmen kann.
Somit gilt für eine $$B_{n;p}$$-verteilte Zufallsvariable $$X$$:
$$
\mu=\sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k)= \sum_{k=0}^{n} k \cdot \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Ausschreiben des Binomialkoeffizienten ergibt
Ausschreiben des Binomialkoeffizienten ergibt
$$
\sum_{k=0}^{n} k \cdot \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Der erste Summand kann weggelassen werden, da er für zu wird:
Der erste Summand kann weggelassen werden, da er für $$k=0$$ zu $$0$$ wird:
$$
\sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Das vordere kann mit der Fakultät im Nenner gekürzt werden:
Das vordere $$k$$ kann mit der Fakultät $$k!$$ im Nenner gekürzt werden:
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!\cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Der letzte Summand der Summe (der Summand mit ), wird vor die Summe gezogen, also der Summand (Beachte: und ).
Damit läuft nur noch von bis und es verbleibt insgesamt:
Der letzte Summand der Summe (der Summand mit $$k=n$$), wird vor die Summe gezogen, also der Summand
$$
\frac{n!}{(n-1)!\cdot 0!} \cdot p^n \cdot (1-p)^0 = n \cdot p^n
$$
(Beachte: $$0!=1$$ und $$(1-p)^0=1$$).
Damit läuft $$k$$ nur noch von $$1$$ bis $$n-1$$ und es verbleibt insgesamt:
$$
n \cdot p^n + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n!}{(k-1)!\cdot (n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Nun kann man aus dem ganzen Ausdruck ausklammern:
Nun kann man aus dem ganzen Ausdruck $$n\cdot p$$ ausklammern:
$$
n\cdot p \cdot \Big(p^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-k)!} \cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{n-k} \Big)
$$
In der Summe lassen wir das nun statt von bis von bis laufen. Damit der Ausdruck sich nicht ändert, muss jedes durch ersetzt werden:
In der Summe lassen wir das $$k$$ nun statt von $$1$$ bis $$n-1$$ von $$0$$ bis $$n-2$$ laufen. Damit der Ausdruck sich nicht ändert, muss jedes $$k$$ durch $$k+1$$ ersetzt werden:
$$
n\cdot p \cdot \Big(p^{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2} \frac{(n-1)!}{((k+1)-1)!\cdot (n-(k+1))!} \cdot p^{(k+1)-1} \cdot (1-p)^{n-(k+1)} \Big)
$$
Ohne Klammern geschrieben verbleibt:
Ohne Klammern geschrieben verbleibt:
$$
n\cdot p \cdot \Big(p^{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2} \frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k-1} \Big)
$$
Nun ziehen wir den Summand wieder in die Summe hinein:
Nun ziehen wir den Summand $$p^{n-1}$$ wieder in die Summe hinein:
$$
n\cdot p \cdot \Big(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k-1} \Big)
$$
Überprüfung: Der Summand für ist also tatsächlich der Summand, der soeben in die Summe gezogen wurde.
*Überprüfung:* Der Summand für $$k=n-1$$ ist
$$
\frac{(n-1)!}{(n-1)!\cdot (n-(n-1)-1)!} \cdot p^{n-1} \cdot (1-p)^{n-(n-1)-1}=
$$
$$
\frac{1}{1\cdot 0!} \cdot p^{n-1} \cdot (1-p)^{0}=p^{n-1},
$$
also tatsächlich der Summand, der soeben in die Summe gezogen wurde.
Der Ausdruck entspricht dem Binomialkoeffizient , also wird aus
der Ausdruck
Der Ausdruck
$$
\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!}
$$
entspricht dem Binomialkoeffizient $$\binom{n-1}{k}$$, also wird aus
$$
n\cdot p \cdot \Big(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k-1} \Big)
$$
der Ausdruck
$$
n\cdot p \cdot \Big(\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k-1} \Big)
$$
In entspricht die Summe der Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer -verteilten Zufallsvariable und ist somit .
Also verbleibt für den Erwartungswert .
In
$$
n\cdot p \cdot \Big(\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k-1} \Big)
$$
entspricht die Summe der Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer $$B_{n-1;p}$$-verteilten Zufallsvariable und ist somit $$1$$.
Also verbleibt für den Erwartungswert $$E(X)=\mu=n\cdot p$$.
Beispielaufgabe zur Binomialverteilung
Ein Glücksrad, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit 15% beträgt, wird 20 Mal gedreht.
-
Berechne den Erwartungswert.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler genau 3 Mal gewinnt.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler höchstens 10 Mal gewinnt.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler mindestens 4 Mal gewinnt.
=== Beispielaufgabe zur Binomialverteilung
Ein Glücksrad, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit 15% beträgt, wird 20 Mal gedreht.
. Berechne den Erwartungswert.
. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler genau 3 Mal gewinnt.
. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler höchstens 10 Mal gewinnt.
. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler mindestens 4 Mal gewinnt.
Lösung:
Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Treffer und ist -verteilt.
!!
!n:20
!p:0.15
!!
*Lösung:*
Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Treffer und ist $$B_{!!n!!;!!p!!}$$-verteilt.
[start=1]
. $$\mu=n\cdot p=!!n!!\cdot !!p!!= !!n*p!!$$
. $$P(X=3)=B_{!!n!!;!!p!!}(3)=!!#B(n,p,3),3)#!!$$
. $$P(X\le 10)=\sum_{k=0}^{10} B_{!!n!!;!!p!!}(k)=!!#sum(B(n,p,k),k,0,10)# !!$$
. $$P(X\ge4)=1-P(X\le3)=1-\sum_{k=0}^{3} B_{!!n!!;!!p!!}(k)= !!#1-sum(B(n,p,k),k,0,3)# !!$$
Standardabweichung
=== Standardabweichung
!!
!p:0.4
!n:5
!phi(m,s,x):=1/(s*sqrt(2*3.141592))*exp(-((x-m)^2)/(2*s^2))
!phi5(x):=phi(n*p,sqrt(n*p*(1-p)),x)
!startx:-2
!endex:6
!starty:-0.03
!endey:.5
!!
!ppp
ratio:1,.5
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1
pen:#ccccff,4
grid:-0.5,-0.5
pen:blue,10,0,0
polygon:-0.5,0,-0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,0,-0.5,0 ,#aaaaff
polygon:0.5,0,0.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,0,0.5 ,0,#aaaaff
polygon:1.5,0,1.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,0,1.5 ,0,#aaaaff
polygon:2.5,0,2.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,0,2.5 ,0,#aaaaff
polygon:3.5,0,3.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,0,3.5 ,0,#aaaaff
polygon:4.5,0,4.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,0,4.5 ,0,#aaaaff
pen:red,10,0,0
function:phi5(x)
!ppp
Die Extremstelle der Glockenkurve liegt bei , die Wendestellen bei . Dieses heißt Standardabweichung und hat für eine Binomialverteilung den Wert
Die Extremstelle der Glockenkurve liegt bei $$\mu$$, die Wendestellen bei $$\mu\pm \sigma$$. Dieses $$\sigma$$ heißt *Standardabweichung* und hat für eine Binomialverteilung den Wert
$$
\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}
$$
In unserem Beispiel mit und beträgt sie beispielsweise Somit liegen die Wendestellen ungefähr bei und
Die Extremstelle liegt bei .
In unserem Beispiel mit $$n=!!n!!$$ und $$p=!!p!!$$ beträgt sie beispielsweise
$$
\sigma=\sqrt{!!n!!\cdot !!p!! \cdot (1-!!p!!)}= !!#sqrt(n*p*(1-p))#!!
$$
Somit liegen die Wendestellen ungefähr bei
$$
!!n*p!!+!!#round(sqrt(n*p*(1-p))*100)/100#!!=!!#round((n*p+ sqrt(n*p*(1-p)))*100)/100#!!
$$
und
$$
!!n*p!!-!!#round(sqrt(n*p*(1-p))*100)/100#!!=!!#round((n*p- sqrt(n*p*(1-p)))*100)/100#!!
$$
Die Extremstelle liegt bei $$!!n!!\cdot !!p!!=!!n*p!!$$.
!!
!p:0.4
!n:5
!phi(m,s,x):=1/(s*sqrt(2*3.141592))*exp(-((x-m)^2)/(2*s^2))
!phi5(x):=phi(n*p,sqrt(n*p*(1-p)),x)
!startx:-2
!endex:6
!starty:-0.03
!endey:.5
!!
!ppp
ratio:1,.5
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1
pen:#ccccff,4
grid:-0.5,-0.5
pen:blue,10,0,0
polygon:-0.5,0,-0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,!!B(5,p,0)!!,0.5,0,-0.5,0 ,#aaaaff
polygon:0.5,0,0.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,!!B(5,p,1)!!,1.5,0,0.5 ,0,#aaaaff
polygon:1.5,0,1.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,!!B(5,p,2)!!,2.5,0,1.5 ,0,#aaaaff
polygon:2.5,0,2.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,!!B(5,p,3)!!,3.5,0,2.5 ,0,#aaaaff
polygon:3.5,0,3.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,!!B(5,p,4)!!,4.5,0,3.5 ,0,#aaaaff
polygon:4.5,0,4.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,!!B(5,p,5)!!,5.5,0,4.5 ,0,#aaaaff
pen:red,10,0,0
function:phi5(x)
point:!!n*p!!,0,15
Point:!!n*p!!,!!phi5(n*p)!!,15
pen:green,10,0,0
point:!!n*p-sqrt(n*p*(1-p))!!,0,15
point:!!n*p+sqrt(n*p*(1-p))!!,0,15
point:!!n*p-sqrt(n*p*(1-p))!!,!!phi5(n*p-sqrt(n*p*(1-p)))!!,15
point:!!n*p+sqrt(n*p*(1-p))!!,!!phi5(n*p+sqrt(n*p*(1-p)))!!,15
!ppp
$$\mu=2$$
$$\mu-\sigma=0.9$$
$$\mu+\sigma=3.1 $$
!!
!p:0.4
!n:5
!phi(m,s,x):=1/(s*sqrt(2*3.141592))*exp(-((x-m)^2)/(2*s^2))
!phi5(x):=phi(n*p,sqrt(n*p*(1-p)),x)
!startx:-2
!endex:6
!starty:-0.03
!endey:.5
!!
!ppp
ratio:1,.5
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,0
pen:#ccccff,4
grid:-0.5,-0.5
pen:red,10,0,0
function:phi5(x)
fill:0,phi5(x),0.9,3.1
pen:blue,10,0,0
fill:0,phi5(x),-0.2,0.9
fill:0,phi5(x),3.1,4.2
pen:green,10,0,0
fill:0,phi5(x),-1.3,-0.2
fill:0,phi5(x),4.2,5.3
!ppp
| Intervall | Wahrscheinlichkeit | Fläche im Diagramm |
|---|---|---|
68,3% |
||
95,4% |
|
|
99,7% |
|
|===
|Intervall|Wahrscheinlichkeit|Fläche im Diagramm
|$$[\mu-\sigma ; \mu+\sigma]$$|68,3% |icon:circle[role=red]
|$$[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]$$|95,4%|icon:circle[role=blue] icon:circle[role=red] icon:circle[role=blue]
|$$[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]$$|99,7%|icon:circle[role=green] icon:circle[role=blue] icon:circle[role=red] icon:circle[role=blue] icon:circle[role=green]
|===