Stetige Zufallsvariablen

== Stetige Zufallsvariablen

Bei der Binomialverteilung ging es um Zufallsvariablen, bei denen die Anzahl der Treffer eines Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ausgängen einer Wahrscheinlichkeit zugeordnet wurde.

Diese Anzahl der Treffer ist dabei immer eine natürliche Zahl.

In diesem Abschnitt geht es nun um Zufallsvariablen, die beispielsweise auch reelle Werte annehmen können, indem sie etwa für die Größe oder die Masse eines Körpers stehen.

Bei der *Binomialverteilung* ging es um Zufallsvariablen, bei denen die *Anzahl der Treffer* eines Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ausgängen einer Wahrscheinlichkeit zugeordnet wurde. Diese Anzahl der Treffer ist dabei immer eine *natürliche Zahl*. In diesem Abschnitt geht es nun um Zufallsvariablen, die beispielsweise auch reelle Werte annehmen können, indem sie etwa für die Größe oder die Masse eines Körpers stehen.
Beispiel

X sei die Zufallsvariable, die die Masse einer zufällig beim Bäcker ausgesuchten Brezel in Gramm wiedergibt.

.Beispiel X sei die Zufallsvariable, die die Masse einer zufällig beim Bäcker ausgesuchten Brezel in Gramm wiedergibt.

Hier sind natürliche Zahlen nicht sinnvoll.

Ebenso wenig ist es damit möglich, eine Tabelle zu erstellen, die jedem Wert einer Zufallsvariable die zugehörige Wahrscheinlichkeit zuordnet. Bei endliche vielen Werten (Trefferzahlen) war das möglich, nun gibt es jedoch unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann.

Stattdessen nutzt man dafür bestimmte Funktionen, sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichten:

Hier sind natürliche Zahlen nicht sinnvoll. Ebenso wenig ist es damit möglich, eine Tabelle zu erstellen, die jedem Wert einer Zufallsvariable die zugehörige Wahrscheinlichkeit zuordnet. Bei endliche vielen Werten (Trefferzahlen) war das möglich, nun gibt es jedoch unendlich viele Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Stattdessen nutzt man dafür bestimmte Funktionen, sogenannte *Wahrscheinlichkeitsdichten*:

Eine Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsdichte auf einem Intervall I (z. B. I=[a;b]I=[a;b]I=[a;b] oder I=(a;b)I=(a;b)I=(a;b)), wenn gilt:

  1. f(x)≥0f(x)\ge 0f(x)≥0 für alle x∈Ix \in Ix∈I

  2. ∫abf(x)dx=1\int_a^b f(x) dx = 1∫​a​b​​f(x)dx=1

==== Eine Funktion heißt *Wahrscheinlichkeitsdichte* auf einem Intervall I (z. B. $$I=[a;b]$$ oder $$I=(a;b)$$), wenn gilt: . $$f(x)\ge 0$$ für alle $$x \in I$$ . $$\int_a^b f(x) dx = 1$$ ====

Eine reellwertige Zufallsvariable XXX mit Werten im Intervall III heißt stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle r,s∈Ir,s \in Ir,s∈I gilt: P(r≤X≤s)=∫rsf(x)dx P(r\le X \le s)=\int_r^s f(x)dx P(r≤X≤s)=∫​r​s​​f(x)dx

==== Eine reellwertige Zufallsvariable $$X$$ mit Werten im Intervall $$I$$ heißt *stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f*, wenn für alle $$r,s \in I$$ gilt: $$ P(r\le X \le s)=\int_r^s f(x)dx $$ ====

Eine stetige Zufallsvariable XXX mit Werten zwischen a und b un der Wahrscheinlichkeitsdichte f hat

  1. den Erwartungswert μ=∫abx⋅f(x)dx\mu= \int_a^b x \cdot f(x) dxμ=∫​a​b​​x⋅f(x)dx

  2. die Standardabweichung σ=∫ab(x−μ)2⋅f(x)dx\sigma=\sqrt{\int_a^b (x -\mu)^2 \cdot f(x) dx} σ=√​∫​a​b​​(x−μ)​2​​⋅f(x)dx​​​

==== Eine stetige Zufallsvariable $$X$$ mit Werten zwischen a und b un der Wahrscheinlichkeitsdichte f hat . den *Erwartungswert* $$\mu= \int_a^b x \cdot f(x) dx$$ . die *Standardabweichung* $$\sigma=\sqrt{\int_a^b (x -\mu)^2 \cdot f(x) dx} $$ ====

Beispiel

*Beispiel* !! !startx:-.2 !endex:2.2 !starty:-.2 !endey:1.1 !! !ppp ratio:!!endex-startx!!,!!endey-starty!! xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1 yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1 pen:#ccccff,4 grid:0.1,0.1 pen:blue,10,0,0 function:.5,0,2 pen:red,10,20,20 !ppp
Aufgaben

  1. Überprüfe, ob es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.

  2. Berechne P(X=0,5)P(X=0,5)P(X=0,5) und P(0,5≤X≤1)P(0,5\le X \le 1)P(0,5≤X≤1).

  3. Berechne μ\muμ und σ\sigmaσ.

.Aufgaben . Überprüfe, ob es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt. . Berechne $$P(X=0,5)$$ und $$P(0,5\le X \le 1)$$. . Berechne $$\mu$$ und $$\sigma$$.

Gauß'sche Glockenfunktion

Gauß entdeckte, dass die zufälligen Fehler bei einer physikalischen Messung sich gemäß der nach ihm benannten Glockenfunktion verteilen. Im folgenden Beispiel sei zunächst die Standard-Glockenfunktion betrachtet.

=== Gauß'sche Glockenfunktion Gauß entdeckte, dass die zufälligen Fehler bei einer physikalischen Messung sich gemäß der nach ihm benannten Glockenfunktion verteilen. Im folgenden Beispiel sei zunächst die *Standard-Glockenfunktion* betrachtet.

Gegeben sei φ(x)=12π⋅e−x22\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}φ(x)=​√​2π​​​​​1​​⋅e​−​2​​x​2​​​​​​.

!! !startx:-4.8 !endex:5 !starty:-.1 !endey:.6 !! !ppp ratio:1 ,0.5 xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1 yaxis:!!starty!!,!!endey!!,.5 pen:#ccccff,4 pen:blue,10,0,0 function:1/(sqrt(2*3.141592)) *exp(-(x^2/2)) !ppp Gegeben sei $$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$$.
Aufgaben

  1. Zeige näherungsweise, dass φ(x)\varphi(x)φ(x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte über R\mathbb{R}R ist.

  2. Berechne näherungsweise P(1≤X≤2)P(1\le X \le 2)P(1≤X≤2) und P(X≤3)P(X\le 3)P(X≤3).

  3. Bestimme näherungsweise μ\muμ und σ\sigmaσ.

  4. Bestimme die Extrem- und Wendestellen.

.Aufgaben . Zeige näherungsweise, dass $$\varphi(x)$$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte über $$\mathbb{R}$$ ist. . Berechne näherungsweise $$P(1\le X \le 2)$$ und $$P(X\le 3)$$. . Bestimme näherungsweise $$\mu$$ und $$\sigma$$. . Bestimme die Extrem- und Wendestellen.

Man kann verallgemeinern:

Man kann verallgemeinern:

Funktionen der Form φμ;σ=1σ⋅2π⋅e−(x−μ)22σ2 \varphi_{\mu;\sigma}=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} φ​μ;σ​​=​σ⋅√​2π​​​​​1​​⋅e​−​2σ​2​​​​(x−μ)​2​​​​​​ heißen Gauß'sche Glockenfunktionen mit einer Maximalstelle bei μ\muμ und den beiden Wendestellen μ±σ\mu \pm \sigmaμ±σ .

Es gilt zudem: ∫−∞∞φ(x)dx=1 \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)dx=1 ∫​−∞​∞​​φ(x)dx=1.

==== Funktionen der Form $$ \varphi_{\mu;\sigma}=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} $$ heißen *Gauß'sche Glockenfunktionen* mit einer Maximalstelle bei $$\mu$$ und den beiden Wendestellen $$\mu \pm \sigma$$ . Es gilt zudem: $$ \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)dx=1 $$. ====

Eine stetige Zufallsvariable XXX heißt normalverteilt mit den Parametern μ\muμ und σ\sigmaσ, wenn sie als Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion φμ;σ\varphi_{\mu;\sigma}φ​μ;σ​​ aufweist.

==== Eine stetige Zufallsvariable $$X$$ heißt *normalverteilt mit den Parametern $$\mu$$ und $$\sigma$$*, wenn sie als Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion $$\varphi_{\mu;\sigma}$$ aufweist. ====

Eine binomialverteilte Zufallsvariable XXX mit μ=n⋅p\mu=n\cdot pμ=n⋅p und σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}σ=√​n⋅p⋅(1−p)​​​ kann folgendermaßen angenähert werden:

  1. P(X=k)=Bn;p(k)≈φμ;σ(k)P(X=k)=B_{n;p}(k)\approx \varphi_{\mu;\sigma}(k)P(X=k)=B​n;p​​(k)≈φ​μ;σ​​(k) normalpdf(k,mu,sigma)

  2. P(a≤X≤b)≈∫a−0,5a+0,5φμ;σ(x)dx P(a\le X \le b)\approx \int\limits_{a-0,5}^{a+0,5} \varphi_{\mu;\sigma}(x) dxP(a≤X≤b)≈​a−0,5​∫​a+0,5​​φ​μ;σ​​(x)dx normalcdf(a,b,mu,sigma)

==== Eine *binomialverteilte Zufallsvariable $$X$$* mit $$\mu=n\cdot p$$ und $$\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$$ kann folgendermaßen angenähert werden: . $$P(X=k)=B_{n;p}(k)\approx \varphi_{\mu;\sigma}(k)$$ icon:calculator[role=red] `normalpdf(k,mu,sigma)` . $$ P(a\le X \le b)\approx \int\limits_{a-0,5}^{a+0,5} \varphi_{\mu;\sigma}(x) dx$$ icon:calculator[role=red] `normalcdf(a,b,mu,sigma)` ====