Eine Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsdichte auf einem Intervall I (z. B. oder ), wenn gilt:
-
für alle
-
Stetige Zufallsvariablen
== Stetige Zufallsvariablen
Beispiel
X sei die Zufallsvariable, die die Masse einer zufällig beim Bäcker ausgesuchten Brezel in Gramm wiedergibt.
.Beispiel
X sei die Zufallsvariable, die die Masse einer zufällig beim Bäcker ausgesuchten Brezel in Gramm wiedergibt.
====
Eine Funktion heißt *Wahrscheinlichkeitsdichte* auf einem Intervall I (z. B. $$I=[a;b]$$ oder $$I=(a;b)$$), wenn gilt:
. $$f(x)\ge 0$$ für alle $$x \in I$$
. $$\int_a^b f(x) dx = 1$$
====
Eine reellwertige Zufallsvariable mit Werten im Intervall heißt stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, wenn für alle gilt:
====
Eine reellwertige Zufallsvariable $$X$$ mit Werten im Intervall $$I$$ heißt *stetig verteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f*, wenn für alle $$r,s \in I$$ gilt:
$$
P(r\le X \le s)=\int_r^s f(x)dx
$$
====
Eine stetige Zufallsvariable mit Werten zwischen a und b un der Wahrscheinlichkeitsdichte f hat
-
den Erwartungswert
-
die Standardabweichung
====
Eine stetige Zufallsvariable $$X$$ mit Werten zwischen a und b un der Wahrscheinlichkeitsdichte f hat
. den *Erwartungswert* $$\mu= \int_a^b x \cdot f(x) dx$$
. die *Standardabweichung* $$\sigma=\sqrt{\int_a^b (x -\mu)^2 \cdot f(x) dx} $$
====
Beispiel
*Beispiel*
!!
!startx:-.2
!endex:2.2
!starty:-.2
!endey:1.1
!!
!ppp
ratio:!!endex-startx!!,!!endey-starty!!
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,1
pen:#ccccff,4
grid:0.1,0.1
pen:blue,10,0,0
function:.5,0,2
pen:red,10,20,20
!ppp
Aufgaben
-
Überprüfe, ob es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.
-
Berechne und .
-
Berechne und .
.Aufgaben
. Überprüfe, ob es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.
. Berechne $$P(X=0,5)$$ und $$P(0,5\le X \le 1)$$.
. Berechne $$\mu$$ und $$\sigma$$.
Gegeben sei .
!!
!startx:-4.8
!endex:5
!starty:-.1
!endey:.6
!!
!ppp
ratio:1 ,0.5
xaxis:!!startx!!,!!endex!!,1
yaxis:!!starty!!,!!endey!!,.5
pen:#ccccff,4
pen:blue,10,0,0
function:1/(sqrt(2*3.141592)) *exp(-(x^2/2))
!ppp
Gegeben sei $$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$$.
Aufgaben
-
Zeige näherungsweise, dass eine Wahrscheinlichkeitsdichte über ist.
-
Berechne näherungsweise und .
-
Bestimme näherungsweise und .
-
Bestimme die Extrem- und Wendestellen.
.Aufgaben
. Zeige näherungsweise, dass $$\varphi(x)$$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte über $$\mathbb{R}$$ ist.
. Berechne näherungsweise $$P(1\le X \le 2)$$ und $$P(X\le 3)$$.
. Bestimme näherungsweise $$\mu$$ und $$\sigma$$.
. Bestimme die Extrem- und Wendestellen.
Funktionen der Form heißen Gauß'sche Glockenfunktionen mit einer Maximalstelle bei und den beiden Wendestellen .
Es gilt zudem: .
====
Funktionen der Form $$
\varphi_{\mu;\sigma}=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
$$ heißen *Gauß'sche Glockenfunktionen* mit einer Maximalstelle bei $$\mu$$ und den beiden Wendestellen $$\mu \pm \sigma$$ .
Es gilt zudem: $$
\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)dx=1
$$.
====
Eine stetige Zufallsvariable heißt normalverteilt mit den Parametern und , wenn sie als Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion aufweist.
====
Eine stetige Zufallsvariable $$X$$ heißt *normalverteilt mit den Parametern $$\mu$$ und $$\sigma$$*, wenn sie als Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion $$\varphi_{\mu;\sigma}$$ aufweist.
====
Eine binomialverteilte Zufallsvariable mit und kann folgendermaßen angenähert werden:
-
normalpdf(k,mu,sigma) -
normalcdf(a,b,mu,sigma)
====
Eine *binomialverteilte Zufallsvariable $$X$$* mit $$\mu=n\cdot p$$ und $$\sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$$ kann folgendermaßen angenähert werden:
. $$P(X=k)=B_{n;p}(k)\approx \varphi_{\mu;\sigma}(k)$$ icon:calculator[role=red] `normalpdf(k,mu,sigma)`
. $$ P(a\le X \le b)\approx \int\limits_{a-0,5}^{a+0,5} \varphi_{\mu;\sigma}(x) dx$$ icon:calculator[role=red] `normalcdf(a,b,mu,sigma)`
====