Funktionen mit Definitionslücken und Verhalten von Funktionen gegen Unendlich

Im Term von f fällt auf, dass der Faktor \$(x-1)\$ in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommt, so dass man hier kürzen könnte. Das ist nur unter Beibehaltung der Definitionsmenge \$D_f\$ möglich, denn eine Funktion ist nicht nur über ihren Term, sondern auch über ihre Definitionsmenge festgelegt.

Würde man ohne Beachtung der Defintionslücken von f kürzen, so erhielte man \${x+2}/{(x+1)(x-3)^2}\$, also eine Funktion, die bei \$x=1\$ unproblematisch ist, also nur den Definitionsbereich \$RR\\{-1;3}\$ hätte. Somit hätten wir aber die Funktion f geändert, da nun ein anderer Definitionsbereich vorliegt.

Die Lösung besteht darin, dass man kürzen darf, den ursprünglichen Definitionsbereich aber beibehält, d. h.

\$f(x)={x+2}/{(x+1)(x-3)^2}\$ mit \$D_f=RR\\{-1;1;3}\$

Im Graphen kennzeichnet man die Definitionslücke bei \$x=1\$ mit einem Kreis, der verdeutlichen soll, dass die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Eine Definitionslücke, bei der die beschriebene Vorgehensweise möglich ist, heißt hebbare Definitionslücke.

Die Definitionslücke bei \$x=-1\$ äußert sich im Graph in einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel: nähert man sich von links der Stelle an, so divergiert der Graph gegen \$-oo\$, von rechts angenähert gegen \$+oo\$. Mathematisch könnte man folgende Notation für diese Tatsache verwenden.

\$lim_{x -> -1-0} f(x) ->-oo\$ (Annäherung an -1 von links)

und

\$lim_{x->-1+0} f(x) ->+oo\$ (Annäherung an -1 von rechts)

Wie kommt es aber zu diesem Vorzeichenwechsel? An der Stelle -1 ändert im gesamten Term von f nur der Faktor \$x+1\$ im Nenner sein Vorzeichen, alles andere bleibt vom Vorzeichen her gleich, also muss an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel vorliegen.

Dieser Vorzeichenwechsel liegt immer dann vor, wenn die betrachtete Nullstelle im Nenner eine ungerade Potenz aufweist, in diesem Fall also die Potenz 1. Bei den Potenzen 3 oder 5 usw. läge ebenfalls eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Man spricht hier auch von einer ungeraden Polstelle.

An der Stelle \$x=3\$ erkennt man eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Unabhängig davon, ob man sich der Stelle \$x=3\$ von links oder von rechts annähert, der Wert divergiert immer gegen \$+oo\$.

Der Grund liegt darin, dass die Nullstelle bei 3 eine gerade Nullstelle ist, d. h. eine gerade Hochzahl hat. In unserem Fall ist dies der Fall, da in \$f(x)={x+2}/{(x+1)(x-3)^2}\$ das \$(x-3)^2\$ eine gerade Potenz hat. Bei 3 wird dieser Faktor zwar 0, links und rechts davon ist er aber aufgrund der gerade Hochzahl positiv, d. h. auch die gesamte Funktion hat unmittelbar links und rechts von diesem Wert einen Funktionswert mit dem gleichen Vorzeichen.

Entsprechende nennt man eine solche Stelle auf der x-Achse eine gerade Polstelle.

Im Allgemeinen ist eine Asymptote ein Graph, dem sich der Graph einer Funktion beliebig nähert, diesen aber nie erreicht. In unserem Beispiel haben wir zwei problematische Stellen vorliegen, an denen sich der Funktionsgraph jeweils einer Senkrechten annähert. Diese senkrechten Geraden heißen in diesem Zusammenhang senkrechte Asymptoten.

Hier haben sie die Funktionsterme \$x=-1\$ und \$x=3\$. Der erste entspricht also der Menge aller Punkte, deren x-Wert -1 ist, also eine senkrechte Gerade bei x=-1, analog dazu die senkrechte Gerade bei x=3.

Zeichnet man diese senkrechten Asymptoten rot gestrichelt ein, so erhält man das folgende Schaubild:

Bisher hatten wir nur gebrochenrationale Funktionen für ihr Verhalten gegen \$+-oo\$ betrachtet. Ein weiteres Beispiel wäre aber \$f(x)={x^7+3x}/{e^x}\$. Wie verhält sich diese Funktion für große Zahlen?

Dazu ein interessanter Beweis:

Behauptung:

Die e-Funktion steigt für \$x->oo\$ stärker als jede ganzrationale Funktion.

Beweis:

Wir definieren für unseren Beweis die Funktion \$q(x)={x^{n+1}*e^{-x}}/{(n+1)^{n+1}*e^{-(n+1)}}\$ und zeigen nun, dass diese für x>0 maximal 1 wird.

Dazu bilden wir zunächst die Ableitung nach x:

\$q'(x)={(n+1)*x^n*e^{-x}+e^{-x}*(-1)*x^{n+1}}/{(n+1)^{n+1}*e^{-(n+1)}}\$

Dazu haben wir im Zähler die Produktregel verwendet. Im Nenner kommt kein x vor, so dass keine Quotientenregel notwendig war.

Die Ableitung können wir vereinfachen zu:

\$q'(x)={(n+1-x)*x^n * e^{-x}}/{(n+1)^{n+1} *e ^{-(n+1)}}\$

Nun bestimmen wir das Maximum von q(x), indem wir zunächst \$q'(x)=0\$ setzen.

Die einzige Lösung dieser Gleichung ist \$x=n+1\$, da \$e^-x\$ und \$x^n\$ für x>0 (Voraussetzung) immer größer als 0 sind. Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, findet hier für \$q'\$ ein Vorzeichenwechsel von + nach - statt, so dass bei \$x=n+1\$ ein Maximum vorliegt.

Bestimmen wir nun den y-Wert des Hochpunkts:

\$q(n+1)={(n+1)^{n+1}*e^{-(n+1)}}/{(n+1)^{n+1}*e^{-(n+1)}}=1\$

Somit ist \$q(x)<=1\$ für x>0, also \${x^{n+1}*e^{-x}}/{(n+1)^{n+1}*e^{-(n+1)}}<=1\$.

Multipliziert man diese Gleichung mit dem Nenner der linken Seite und dividiert sie anschließend durch x, so erhält man

\$x^n * e^{-x} <= {(n+1)^{n+1}*e ^{-(n+1)}}/x\$

Für \$x->oo\$ geht die rechte Seite gegen 0 (oben steht ein konstanter Wert, der durch immer größere Werte dividiert wird).

Da die linke Seite kleiner gleich der rechten Seite war, muss auch sie gegen 0 gehen (negativ kann sie nicht werden).

Somit haben wir gezeigt:

Benutzen wir diese Erkenntnis für unser Beispiel: \$f(x)={x^7+3x}/{e^x}\$.